1、高 二 年 级 月 考 四 数 学 试 题（理） 2019.12时间：120分钟 满分：150分一选择题.(5分*12=60分)1. 倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy0Cxy0 Dxy02若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)213. 椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(，1)的椭圆的标准方程为()A1 B1C1 D14已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为，过点F2的直线交椭圆C于M
2、，N两点，且MNF1的周长为8，则椭圆C的焦距为()A4 B2C2 D25若双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线的斜率为()A2 BC D6设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M为直线y2b上的一点，F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A BC D7如图，椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若 |PF1|4，F1PF2120，则a的值为()A2 B3C4 D58过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.9已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于，以双曲线C的一个焦点
3、为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A1 By21Cx21 Dy2110已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A B2C D311已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D212已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|2c，若椭圆上存在点M使得，则该椭圆离心率的取值范围为()A(0，1) B.C. D(1,1)二 填空题.13已知AB是
4、抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是 .14过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|_.15在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_16已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则当|AF|4|BF|取得最小值时，直线AB的倾斜角的正弦值为_三 解答题。17已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)，求该椭圆的方程18在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2y24x2ym0与直线xy20相切(
5、1)求圆C的方程；(2)若圆C上有两点M，N关于直线x2y0对称，且|MN|2，求直线MN的方程19已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积20已知圆C过定点F，且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk(x1)(kR)相交于A，B两点(1)求曲线E的方程；(2)当OAB的面积等于时，求k的值21已知椭圆C：1(ab0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)当F2AB的面积为时，求直线的方程22已知
6、椭圆C：1(ab0)的离心率为，左焦点为F(1,0)，过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)在y轴上，是否存在定点E，使恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，请说明理由高二月考四理数答案2019.121D 2A 3D 4C 5B 6C 7B 8B 9C 10B 11D 12D12.解析：选D在MF1F2中，而，.又M是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.显然|MF2|MF1|，ac|MF2|ac，即ac0，e22e10，又0e1，1e0，x20，则x1x2，x1x21, 1.当
7、直线的斜率不存在时，易知|AF|BF|2，故1.设|AF|a，|BF|b，则1，所以|AF|4|BF|a4b(a4b)59，当且仅当a2b时取等号，故a4b的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x112(x21), 联立得，x12，x2，k2，故直线AB的倾斜角的正弦值为.17 设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)因为椭圆经过P1，P2两点，所以P1，P2点坐标适合椭圆方程，则两式联立，解得所以所求椭圆方程为1.18 (1)将圆C：x2y24x2ym0化为(x2)2(y1)25m，因为圆C：x2y24x2ym0与直线xy20相切，所以圆心(2，1)到直线xy20的距离d2r，所以圆C
8、的方程为(x2)2(y1)24.(2)若圆C上有两点M，N关于直线x2y0对称，则可设直线MN的方程为 2xyc0，因为|MN|2，半径r2，所以圆心(2，1)到直线MN的距离为1，即1，所以c5，所以直线MN的方程为2xy50.19(1)因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.(2)证明：设F1(2，0)，F2(2，0)，则(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2，因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.所以F1MF
9、2的高h|m|，所以SF1MF246.20(1)由题意，点C到定点F和直线x的距离相等，故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组消去x后，整理得ky2yk0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有y1y2，y1y21.设直线l与x轴交于点N，则N(1，0)所以SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|，|ON|y1y2|1 ，解得k.21(1)因为椭圆C：1(ab0)过点，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线的倾斜角为时，A，B，SABF2|AB|F1F2|323.当直线的倾斜角不为时，设直线方程为yk(x1)
10、，代入1得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以SABF2|y1y2|F1F2|k|k| ，所以17k4k2180，解得k21，所以k1，所以所求直线的方程为xy10或xy10.22(1)由已知可得解得a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设过点D(0,2)且斜率为k的直线l的方程为ykx2，由消去y，整理得(12k2)x28kx60，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4，y1y2(kx12)(kx22)k(x1x2)4.设存在点E(0，m)，则(x1，my1)，(x2，my2)，所以x1x2m2m(y1y2)y1y2m2m.要使t(t为常数)，只需t，从而(2m222t)k2m24m10t0，故解得m，从而t，故存在定点E，使恒为定值.