1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念 第一章 1.3 函数的基本性质第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线如下图：这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了这条曲线表明了遗忘
2、规律是“先快后慢”通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1.增函数和减函数 增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的_两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)_f(x2)f(x1)_f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数区间D称为函数f(x)的单调递增区间那么就说函数f(x)在区间D上是减函数区间D称为函数f(x)的单调递减区间任意增函数减函数图象特征函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的函数 f(x)在区间 D 上的图象是_的图示上升下降知识点拨(1)函数 f(x)在区间 D 上是增函数，x1，x2D，且 x1x2(x1x2)
3、f(x1)f(x2)0fx1fx2x1x20.(2)函数 f(x)在区间 D 上是减函数，x1，x2D，且 x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)0fx1fx2x1x20.2单调性(1)定义：如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的_(2)图象特征：函数yf(x)在区间D上具有单调性，则函数yf(x)在区间D上的图象是上升的或下降的增函数减函数单调区间归纳总结 基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间k0R无正比例函数(ykx，k0)与一次函数(ykxb，k0)k0无Rk0无(，0)和(0
4、，)反比例函数(ykx，k0)k0(，0)和(0，)无a0 b2a，)(，b2a二次函数(yax2bxc，a0)a0(，b2a b2a，)答案 B解析 因为函数yf(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.1.函数 yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且 x1x2，则有 导学号 22840300()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D以上都有可能答案 B解析 分别画出各个函数的图象，在(0,2)上上升的图象只有B.2 下 列 函 数 中，在 区 间(0,2)上 为 增 函 数 的 是导学号 22840301()Ay3xByx
5、21Cy1xDyx23下列命题正确的是 导学号 22840302()A定义在(a，b)上的函数 f(x)，若存在 x1，x2(a，b)，使得 x1x2 时，有 f(x1)f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数 f(x)，若有无穷多对 x1，x2(a，b)，使得 x1x2 时，有 f(x1)f(x2)，那么 f(x)在(a，b)上为增函数C若 f(x)在区间 I1 上为减函数，在区间 I2 上也为减函数，那么 f(x)在 I1I2 上也一定为减函数D若 f(x)在区间 I 上为增函数且 f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么 x10B(x1x2)f(x1)
6、f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)0解析 不能显然x11，x21时，满足x1y2不成立5我们已知反比例函数 y1x的图象如图，它在区间(，0)和(0，)都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？导学号 22840304课堂典例讲练利用图象求函数的单调区间如图为函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的单调区间.导学号 22840305思路分析(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？解析 函数的单调增区间为1.5,3)、5,6)，单调减区间为4，1.5)、3,5)、6,7规律总结 函数单调区间
7、的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数 y1x在(，0)(0，)上是减函数，而只能写成在(，0)和(0，)上是减函数(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点导学号 22840306据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间解析 由图象(1)知此函数的增区间为
8、(，2，4，)，减区间为2,4由图象(2)知，此函数的增区间为(，1、1，)，减区间为1,0)、(0,1.用定义证明函数的单调性证 明 函 数 f(x)x12x 在 x 3,5 为 增 函数.导学号 22840307思路分析 利用增函数的定义来证明，其关键是对 f(x1)f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式解析 证明：设 x1，x2 是区间3,5上的任意两个实数且x1x2，则 f(x1)f(x2)x112x1x212x23x1x22x12x2.因为 3x1x25，所以 2x10,2x20，x1x20.所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以 f(x)在3,5
9、上为增函数规律总结 函数单调性的证明方法证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：导学号 22840308(1)用单调性定义证明函数 f(x)2x24x 在(，1上是单调减函数(2)用定义证明，函数 y 2xx1在(1，)上为增函数证明(1)设 x1x21，则f(x1)f(x2)(2x214x1)(2x224x2)2(x21x22)4(x1x2)2(x1x2)(x1x22)x1x21，x1x20，x1x220，即 f(x1)f(x2)，f(x)在(，1上是减函数(2)设 x1x21，y1y2 2x1x11 2x2x21
10、2x1x2x11x210，y1y2，函数 y 2xx1在(1，)上为增函数求函数的单调区间(1)f(x)2x24x3 的增区间为_(2)f(x)1x1的减区间为_(3)作出函数 f(x)|x3|x26x9的图象，并指出其单调区间.导学号 22840309思路分析(1)求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？(2)求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？(3)求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？解析(1)f(x)2x24x3 开口向下，对称轴为 x1，故其增区间为(，1)(2)f(x)1x1的定义域为(，1)(1，)，任取x1，x2(，1)，且 x1
11、x2，则f(x1)f(x2)1x111x21x2x1x11x210，所以 f(x1)f(x2)，(，1)为 f(x)1x1的减区间，同理可得(1，)也为 f(x)1x1的减区间(3)原函数可化为 f(x)2x，x3，6，3x3，2x，x3，其图象为由图象知，函数的增区间为3，)，减区间为(，3答案(1)(，1)(2)(，1)，(1，)(3)增区间3，)减区间(，3规律总结 求函数单调区间的两个方法及三个关注点(1)两个方法方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间(2)三个关注点：关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域关注二
12、：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接导学号 22840310画出函数 yx22|x|3 的图象，并指出函数的单调区间分析 函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图根据图象指出单调区间解析 yx22|x|3x22x3x124 x0 x22x3x124 xg(12t)，求 t的取值范围.导学号 22840311思路分析(1)先将函数解析式配方，找出对称轴，画出图形，寻找对称轴与区间的位置关系求解(2)充分利用函数的单调性，实现函数值与自变量不等
13、关系的互化解析(1)f(x)x22(a1)x2x(a1)2(a1)22，此二次函数的对称轴为 x1a.f(x)的单调减区间为(，1af(x)在(，4上是减函数，对称轴 x1a 必须在直线 x4 的右侧或与其重合1a4，解得 a3.(2)g(x)在 R 上为增函数，且 g(t)g(12t)，t12t，t13，即所求 t 的取值范围为(13，)点评 本题易出现不能正确判断对称轴与直线x4的位置关系而致错规律总结 函数单调性应用的关注点(1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断，证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围(2)利用函数的单调性可以比
14、较函数值或自变量的大小例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)(3)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的导学号 22840312已知函数 f(x)的定义域为2,2，且 f(x)在区间2,2上是减函数，且 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围解析 因为 f(x)在区间2,2上单调递减，所以当2x1x22 时，总有 f(x1)f(x2)成立，反之也成立，即若 f(x1)f(x2)，则2x1x22.因为 f(1
15、m)f(m)，所以2m2，21m2，1mm，解得12m2.对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误若函数 f(x)x22ax4 的单调递减区间是(，2，则实数 a 的取值范围是_.导学号 22840313错解 函数 f(x)的图象的对称轴为直线 xa，由于函数在区间(，2上单调递减，因此a2，即 a2.错因分析 错解中把单调区间误认为是在区间上单调正解 因为函数f(x)的单调递减区间为(，2，且函数f(x)的图象的对称轴为直线xa，所以有a2，即a2.规律总结 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区
16、间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义导学号 22840314已知函数 f(x)2x2mx3，当 x(2，)时是增函数，当 x(，2)时是减函数，则 f(1)等于()A3 B13C7D由 m 决定的常数答案 B解析 由 f(x)2x2mx3，得对称轴 xm4，m42，即 m8，代入 f(x)2x2mx3，有 f(x)2x28x3.将 x1 代入 f(x)2x28x3，得 f(1)13.当 堂 检 测答案 C解析 结合图象分析可知，函数图象在区间3,1是上升的，故其增区间是3,11 函 数 y f(x)的 图 象 如 图 所 示，其 增 区 间 是导学号 22
17、840315()A0,1B4，31,4C3,1D3,42已知 f(x)(3a1)xb 在(，)上是增函数，则a 的取值范围是 导学号 22840316()A(，13)B(13，)C(，13D13，)答案 B解析 f(x)(3a1)xb 为增函数，应满足 3a10，即 a13，故选 B.答案 B解析 由二次函数f(x)82xx2(x1)29的图象知B对，故选B.3已知函数 f(x)82xx2，那么下列结论正确的是导学号 22840317()Af(x)在(，1上是减函数Bf(x)在(，1上是增函数Cf(x)在1，)上是减函数Df(x)在1，)上是增函数4写出下列函数的单调区间.导学号 228403
18、18(1)y|x|1_.(2)yx2ax_.(3)y|2x1|_.(4)y 1x2_.答案(1)增区间0，)，减区间(，0；(2)增区间(，a2，减区间a2，)；(3)增区间12，)，减区间(，12；(4)增区间(，2)和(2，)，无减区间5求证：函数 f(x)1x2在区间(0，)上是减函数，在区间(，0)上是增函数.导学号 22840319证明 对于任意的 x1，x2(，0)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)1x211x22x22x21x21x22 x2x1x2x1x21x22.因为 x1x20，所以 x2x10，x1x20，x21x220.所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 f(x)1x2在(，0)上是增函数对于任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，有f(x1)f(x2)x2x1x2x1x21x22.因为 0 x1x2，所以 x2x10，x2x10，x21x220.所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)所以函数 f(x)1x2在(0，)上是减函数课 时 作 业（点此链接）