1、课时规范练27平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2020河北保定一模,文4,理4)已知a与b均为单位向量,若b(2a+b),则a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.1202.(2019北京,理7)设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020全国2,文5)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b4.(2020河北唐山一模,理5)已知向量a,b满足|a+b|=|b|,且|a|=2,则
2、b在a方向上的投影是()A.2B.-2C.1D.-15.在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),则当BC最小时,C=()A.90B.60C.45D.306.(2020河北邢台模拟,理3)设非零向量a,b满足|a|=3|b|,cos=13,a(a-b)=16,则|b|=()A.2B.3C.2D.57.(2020辽宁大连模拟,文9)已知扇形OAB的半径为2,圆心角为23,点C是弧AB的中点,OD=-12OB,则CDAB的值为()A.3B.4C.-3D.-48.已知平面向量OA,OB满足|OA|=|OB|=1,OAOB=0,且OD=12DA,E为OAB的外心,则EDOB=()A
3、.-12B.-16C.16D.129.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.10.(2020湖南长郡中学四模,理13)已知向量a=(1,2),b=(k,1),且2a+b与向量a的夹角为90,则向量a在向量b方向上的投影为.11.(2020山东齐鲁备考联盟校阶段检测)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)设=4,且a(b+c),求cos 的值.综合提升组12.(2020皖豫名校联考,理10)在菱形ABCD中,ABC=120,AC=23,BM+12CB=0,DC=DN,若AM
4、AN=29,则=()A.18B.17C.16D.1513.(2020陕西西安中学八模,理7)如图所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是()A.P1P2P1P3B.P1P2P1P4C.P1P2P1P5D.P1P2P1P614.在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,AC与BD相交于点O,过点A作AEBD,垂足为E,则AEEC=()A.725B.14425C.125D.122515.(2020浙江,17)已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是.16.已知向量a=(cos x,si
5、n x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.创新应用组17.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A,B两点,O为坐标原点,若AOAB=32,则实数m=()A.1B.32C.22D.1218.(2020天津,15)如图,在四边形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且AD=BC,ADAB=-32,则实数的值为,若M,N是线段BC上的动点,且|MN|=1,则DMDN的最小值为.参考答案课时规范练27平面向量的数量积与平面向量的应用1.Db(2a+b),b2a+|b|2=0.又|a|=|b|=1,ab=-12
6、,cos=ab|a|b|=-12,a与b的夹角为120.故选D.2.CA,B,C三点不共线,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|BC|”的充要条件,故选C.3.D由题意可知,ab=|a|b|cos60=12.对于A,(a+2b)b=ab+2b2=520,不符合题意;对于B,(2a+b)b=2ab+b2=20,不符合题意;对于C,(a-2b)b=ab-2b2=-320,不符合题意;对于D,(2a-b)b=2ab-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.4.D|a|=2,在等式|a+
7、b|=|b|两边平方并化简,得a2+2ab=0,ab=-a22=-2,b在a方向上的投影为aba=-1.故选D.5.A由题意BC=AC-AB=(-x-1,2x-2),|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x0,当x=35,ymin=165,此时BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即C=90.故选A.6.A|a|=3|b|,cos=13,a(a-b)=a2-ab=9|b|2-|b|2=8|b|2=16,|b|=2.故选A.7.C如图,连接CO,点C是弧AB的中点,COAB,OCAB=0,又OA=
8、OB=2,OD=-12OB,AOB=23,CDAB=(OD-OC)AB=-12OBAB=-12OB(OB-OA)=12OAOB-12OB2=1222-12-124=-3.8.AOAOB=0,OAOB,又|OA|=|OB|=1,OAB为等腰直角三角形.E为OAB的外心,E为AB中点,|OE|=12|AB|=22且BOE=45.OD=12DA,OD=13OA,EDOB=(OD-OE)OB=13OAOB-OEOB=-|OE|OB|cosBOE=-2222=-12.9.3|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=1+1+2ab=1,ab=-12,|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b
9、|2-2ab=3,|a-b|=3.10.-214529因为向量a=(1,2),b=(k,1),则2a+b=(2+k,5),又因为2a+b与向量a的夹角为90,所以(2a+b)a=0,即2+k+10=0,解得k=-12,即b=(-12,1),所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cos=ab|b|=-10145=-214529.11.解(1)b+c=(cos-1,sin),则|b+c|2=(cos-1)2+sin2=2(1-cos).因为-1cos1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=4,则a=22,22.又由b
10、=(cos,sin),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos-1,sin)=22cos+22sin-22.因为a(b+c),所以a(b+c)=0,即cos+sin=1,所以sin=1-cos,平方后化简得cos(cos-1)=0,解得cos=0或cos=1.经检验cos=0或cos=1即为所求.12.D作出图形,建立如图所示的平面直角坐标系,设N(x,y).因为AC=23,ABC=120,故BO=1,因为BM+12CB=0,所以BM=12BC,即M为BC的中点.所以A(-3,0),M32,12,D(0,-1),C(3,0),则AM=332,12,DC=(3,1)=DN=(x,y+1
11、),由题可知0,故N3,1-1,AN=3+3,1-1,所以AMAN=5+4=29,解得=15.13.A设边长|P1P2|=a,易知P2P1P3=6,|P1P3|=3a,则P1P2P1P3=a3acos6=3a22;易知P2P1P4=3,|P1P4|=2a,则P1P2P1P4=a2acos3=a2;易知P1P2P1P5=0,P1P2P1P60,解得-2x2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1),AOAB=32,AOAB=x12
12、-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=22.故选C.18.16132AD=BC,ADAB=BCAB=|BC|AB|cos120=63-12=-32,=16.令BM=BC056,则BN=BM+MN=BC+16BC=+16BC,DM=DA+AB+BM=-16BC+AB+BC=-16BC-BA,DN=DA+AB+BN=-16BC+AB+16BC=BC-BA.DMDN=-16BC-BA(BC-BA)=-16|BC|2-+-16BABC+|BA|2=362-16-2-169+9=362-6-18+212=362-24+212=36-132+132.又056,当=13时取最小值132.