1、浙江省2020届高三数学下学期强基联考试题（含解析）选择题1. 已知正整数，满足：，能整除2016，但不能整除2016，则的个数为（ ）A. 916B. 917C. 918D. 919【答案】C【解析】【分析】首先对进行分解，得到，设，从反面考虑，找出不满足条件的，和总个数，利用减法运算求得结果.详解】，设，则，故有种情况，若，能整除2016，则有种情况，下面计算能整除2016的情况，（1）当，时，由，共有种；（2）当时，共有种；（3）当时，有种；（4）当时，有种，（5）当时，有种；（6）当时，有种；故共有种，所以符合条件的有种，故选：C.【点睛】该题考查的是有关满足条件的解的个数的问题，在解
2、题的过程中，注意对题意的正确分析，属于较难题目.2. 已知复数满足，且有，求（ ）A. B. C. D. 都不对【答案】A【解析】【分析】根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果.【详解】因为，设（为虚数单位）；由棣莫佛公式，可得，所以所以，即因为，所以；化简可得，即所以，所以；所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键.3. 已知，则解的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无穷多个【答案】B【解析】【分析】令，利用三角换元将原方程转化为，再根据，即
3、可得解；【详解】解：令，则，则转化为又，所以故选：B【点睛】本题考查三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题.4. 已知正整数，满足，则的值有可能等于（ ）A. 101B. 301C. 401D. 以上三个都不对【答案】B【解析】【分析】考虑，则不是质数即可，即可得答案；【详解】考虑，则于是不是质数即可，而101，401都是质数，不是质数，于是取即得，故选：B.【点睛】本题考查数论基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5. 三个不同实数，满足，则等于（ ）A. B. 0C. 1D. 以上都不对【答案】D【解析】【分析】依题意可得是方程的三个不同的根，再根据三次方程的性质计算可得；
4、【详解】解：设则是方程的三个不同的根，由韦达定理得故选：D【点睛】本题考查三次方程的解，考查转化思想，属于中档题.6. 已知，为正整数，则方程的解得个数为（ ）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果.【详解】因为，所以，当时，则，即，可得可取；当时，则，可得可取；当时，则，解得，或，进而解得为；当时，则，可得为；所以方程的解的个数为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果.7. 在中，直线与交于点，若，则
5、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出，【详解】解：因为，所以设所以，由、共线，所以，故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.8. 方程的所有实根的平方和为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】令，将问题转化为的所有根的平方和问题，又单调，故只需令即可.【详解】令，则原方程等价于，因为函数是上的增函数，故原方程的解等价于的解，则当时，所以原方程的所有根为，其平方和为.故选：C.【点睛】本题考查方程的根的问题，实际考查函数与方
6、程思想的运用，难度一般，灵活转化是关键.9. 若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5,+A. B. 3C. D. 4【答案】A【解析】试题分析：如图示：因为2x+=5,，所以有，可令，则即为两函数图像交点A的横坐标；又因为2x+2(x1)=5,，可令，则即为此两函数图像交点B的横坐标，则点A、点B关于直线对称，即直线与直线的交点即是点A、点B的中点，所以有中点坐标公式可得，所以，选择A 考点：本题主要考查互为反函数的同底指对数函数图像的对称性点评：要求学生具有很好的数学功底与很好的逻辑思维能力，如果可以结合图像，数形结合的解决本题会使得思路更加清晰，处在选择题中应该可以归为难题了10.
7、设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有.若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，由，知是奇函数，再由的导数 可以得到的单调性，即，可以解出.【详解】由题意当时，构造函数，则，得上单调递增，又由条件得所以是奇函数，又在上单调递增且，所以在上单调递增，由， 得，即根据函数在上单调递增，可得，解得故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，单调性的应用，主要是构造函数，属于中档题11. 设复数，满足，则由围成图形的面积为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】设，利用复数模的几何意义，可得，在复平面内的轨迹，从而写出，轨迹的参数
8、方程，进而判断出围成的图形即可求解.【详解】设，则由题意可知，令，则，所以复数围成的图形为一个圆环面，其面积为.故选：B【点睛】本题考查了复数模的几何意义、圆的参数方程以及两角差的余弦公式，属于基础题.12. 实数，满足，则的最大值和最小值分别为（ ）A. ，1B. 2，C. ，0D. 2，1【答案】D【解析】【分析】利用换元思想，当x0时，令t，消元，将所求式子变成关于t的函数，再根据直线与圆的位置关系求出t的范围，再次三角换元，即可求出函数的最大最小值【详解】设，当x0时，P，当x0时，令t，由题意得直线ytx与在x0时有交点，令1，解得t（负根舍去），所以t，+），P，令ttan，）P=
9、2sin（+）（，2当x0时，令t，由直线ytx与在x0时有交点，同上，1，解得t（正根舍去），所以t（，P，令ttan，（，P2sin（+）1，）综上可知，的最大值为2，最小值为1故选：D【点睛】本题主要考查多元变量最值问题的求法，涉及直线与圆的位置关系的应用，属于难题13. ，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，则，设，平方化简，结合均值不等式，可得u的范围，即可得结果.【详解】因为，所以，所以不等式化简为，设，则，又，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故选：C【点睛】本题考查均值定理的应用，恒成立问题，考查转化思想，考查计算化简的能力，
10、属中档题.14. 已知，则的最大值和最小值的乘积属于区间（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据题意设，则非负，这将问题变为求的最大值和最小值问题，由，再利用重要不等式求其最值可得答案.【详解】根据题意设，则非负.则(当且仅当时取等号)所以的最大值为由所以(当中有两个为0时取等号)所以的最大值为所以的最大值和最小值的乘积为故选：C【点睛】本题考查利用重要不等式求最值问题，考查分析问题的能力，属于中档题.15. 已知，为单位圆上的三点，有，则（ ）A. 0B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意，可知原点既是的外心，又是的重心，得到是正三角形，取特殊
11、点即可求得结果.【详解】因为，为单位圆上的三点，所以原点是的外心，又因为，所以原点是的重心，所以是正三角形，该题为选择题，可以用特殊点来求解，取，此时，故选：B.【点睛】该题考查的是有关点的坐标运算求值的问题，涉及到的知识点有判断三角形的外心和重心，在解题的过程中，注意取特殊点法求解，属于简单题目.16. 设，其中、，则（ ）A. B. C. 2D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】由题意可得，可求得、的表达式，然后利用极限的运算性质可求得的值.【详解】当为偶数时，则，；同理可知，当奇数时，.由，可得，因此，.故选：A.【点睛】本题考查利用二项式定理计算极限值，解题的关键就是计算出和的表达
12、式，考查计算能力，属于中等题.17. 已知非负实数，满足，则有序实数对围成几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【详解】若，则有序实数对围成几何体是棱长为1的正方体,若非负实数，满足，有序实数对围成几何体为三棱锥,则，故选：C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.18. 已知，是1，2，3，9的一个排列，则的最小值为（ ）A. 213B. 214C. 215D. 216【答案】B【解析】【分析】根据，都是正整数，根据基本不等式可得，结
13、合，得到，从而求得结果.【详解】因为，都是正整数，所以，因为，所以，综上所述，的最小值为214，故选：B.【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，属于简单题目.19. 为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，过，作切线交于，则（ ）A. 的最大值为B. 的最大值为C. 的轨迹是D. 的轨迹是【答案】AC【解析】【分析】设出点的坐标，分别写出直线方程，根据系数相等，求得坐标之间的关系，结合几何关系，即可求得三角形得面积，结合均值不等式则面积的最大值可解；利用相关点法，即可求得动点的轨迹方程.【详解】根据题意，作图如下：不妨设点的坐标为，点坐标为，故切点所在直线方程
14、为：；又点为椭圆上的一点，故切线方程所在直线方程为：；故可得.即不妨设直线交于点，故设直线方程为：，故，又，故可得三角形的面积，当且仅当，且时，即时取得最大值因为点在椭圆上，故，又，故可得，整理得.故动点的轨迹方程为：.故选：.【点睛】本题考查切点弦直线方程、椭圆的切线方程，以及均值不等式的利用，轨迹方程的求解，属综合困难题.20. 设函数，则（ ）A. B. C. 曲线存在对称轴D. 曲线存在对称中心【答案】ABC【解析】【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，再将化为，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：，因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，故曲线也关于直线对称，选项C正确；当时，函数取得最大值，此时取得最小值，故，选项A正确；若，则，令，则恒成立，则在上递增，又，所以当时，；当时，；作出和的图象如图所示：由图象可知成立，即，选项B正确；对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则，通过分析发现不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.