1、第7节空间向量与线面位置关系考试要求1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会用向量方法证明直线、平面的位置关系；2.了解向量法求点到面的距离.知 识 梳 理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)
2、设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.4.点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d.常用结论与易错提醒1.直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，且v1v2，若l1，l2有公共点，则l1，l2重合；若l1，l2没有公共点，则l1l2.2.直线l的方向向量v与
3、平面内不共线的向量a，b满足vab，若直线l与无公共点，则l，若直线l与有公共点，则l.3.直线l的方向向量v与平面的法向量u垂直，若直线l与平面有公共点，则l，若直线l与平面无公共点，则l.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)两直线的方向向量平行，则两直线平行.()(2)如果一条直线的方向向量与平面内一直线的方向向量共线，则这条直线与该平面平行.()(3)如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则这条直线与该平面平行.()(4)一条直线的方向向量有无穷多个，平面的法向量也有无穷多个.()解析(1)不正确，两直线也可能重合；(2)不正确，直线也可能在平面内；(3)不正确，直线也可能在
4、平面内.答案(1)(2)(3)(4)2.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A.(1，1，1) B.(1，1，1)C. D.解析设平面ABC的法向量n(x，y，z)，(1，1，0)，(1，0，1)，由得xyz.故选C.答案C3.已知平面的法向量为n(2，2，4)，(1，1，2)，则直线AB与平面的位置关系为()A.AB B.ABC.AB与相交但不垂直 D.AB解析由题意易得n2，所以向量也为平面的一个法向量，则直线AB与平面垂直，故选A.答案A4.平面的法向量u(2，2，2)，平面的法向量v(1，2，1)，则下列命题正确的是()A.，平
5、行 B.，垂直C.，重合 D.，不垂直解析平面的法向量与平面的法向量的数量积为uv21(2)2210，平面，垂直，故选B.答案B5.设u，v分别是平面，的法向量，u(2，2，5)，当v(3，2，2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_.解析当v(3，2，2)时，由于uv0，即uv，；当v(4，4，10)时，由于v2u0，.答案6.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n(2，2，4)，若a(1，1，2)，则直线l与平面的位置关系为_；若a(1，1，1)，则直线l与平面的位置关系为_.解析当a(1，1，2)时，an，则l；当a(1，1，1)时，an(1，1，1)(2，2
6、，4)0，则l或l.答案ll或l考点一用空间向量证平行问题【例1】 如图所示，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB平面EFG.证明因为平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0).所以(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)，设s
7、t，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以解得st2，所以22，又因为与不共线，所以，与共面.因为PB平面EFG，所以PB平面EFG.规律方法(1)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.(2)能建坐标系时，尽量建立坐标系.【训练1】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)
8、连接BG，则()，又与不共线，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为()，因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.考点二用空间向量证垂直问题【例2】 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明(1)取BC的中点O，连接PO，平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐
9、标系，如图所示.不妨设CD1，则ABBC2，PO.A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，).(2，1，0)，(1，2，).(2)1(1)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，则M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.规律方法用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或
10、将面面垂直的判定定理用向量表示.【训练2】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长.(1)证明设p，q，r.由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可证MNCD.(2)解由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a.MN的长为a.考点三利用空间向量求解探索性问题【例3】 如图，在四棱锥EABCD中，平面ABE底面ABCD，侧面
11、AEB为等腰直角三角形，AEB，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，AB2CD2BC.线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由.解存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：取AB中点O为坐标原点，OB，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD1，则E(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1).由，得F，所以.设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则所以取a1，得v(1，1，2)，因为v(1，1，1)(1，1，2)0，且EC平面FB
12、D，所以EC平面FBD，即当点F满足时，有EC平面FBD.规律方法空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.【训练3】 在四棱锥PABCD中，ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，DAB90，ADBC，E是线段AB的中点，PE底面ABCD，已知DAAB2BC2.试在平面PCD上找一点M，使得EM平面PCD.解因为PE底面ABCD，过E作ESBC，则ES
13、AB，以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，A(1，0，0)，D(1，2，0)，P(0，0，)，(2，1，0)，(1，1，).设M点的坐标为(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，得n(1，2，).因为EM平面PCD，所以n，即，也即y12x1，z1x1，又(x1，y1，z1)，(1，2，)，(1，1，)，所以(，2，)，所以得x1，y122x12()，即4，z1，所以，所以M点的坐标为.基础巩固题组1.正方体ABCDA1B1C1D1中，M，
14、N分别是C1C，B1C1的中点.求证：MN平面A1BD.证明如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是，(1，0，1)，(1，1，0).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.所以n(1，1，1).又n(1，1，1)0，所以n.又MN平面A1BD，所以MN平面A1BD.2.如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.求证：AC1BD.证明记a，b
15、，c，abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.3.(一题多解)如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1).又P为BM的中点，故P，所以.又平面BC
16、D的一个法向量为a(0，0，1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，D的坐标，设点C坐标为(x0，y0，0).，设点F坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，又由法一知，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.4.如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在
17、直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).设AB中点为N，连接CN，则N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，所以(2，4，0)，(4，0，0)，(0，4，0)，所以，又与不共线，所以与，共面，又DE平面ABC，故DE平面ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0).(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.所以，即B1FEF，B1FAF，又因为AFEFF，AF平面AEF，EF平面AEF，所以B1F平面AEF.5.如图，在多
18、面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綉BC，二面角A1ABC是直二面角.求证：(1)A1B1平面AA1C；(2)AB1平面A1C1C.证明(1)因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1平面BAC.又因为ABAC，BCAB，所以AB2AC2BC2，即CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)，所以(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0).平面AA1
19、C就是xOz平面，取一个法向量n(0，1，0).所以2n，即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0，2，2)，(1，1，0)，(2，0，2)，设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)，则即令x11，则y11，z11，即m(1，1，1).所以m012(1)210，所以m.又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.6.(一题多解)如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.证明法一(1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立
20、如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M，O.，(1，0，0)，0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).(1，1，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，由得令x11，则n1.同理可得n2(0，1，1).n1n20，平面MDF平面EFCD.法二(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，BF
21、，BC，BA两两垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，CD，FC平面EFCD，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.能力提升题组7.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC3，AA12.以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接DA1和DC1.(1)求证：A1D平面BCC1B1；(2)线段BC上是否存在点F，使平面DA1C1与平面A1C1F垂直？若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由.(1)证明ADBC，AA1CC1，且ADAA1A，BCBB1B，平面A1DA平面BCC1B1，A1D平面A1DA，A1D平面BCC1B1，A1D平面B
22、CC1B1.(2)解以A为坐标原点，分别以射线AD，AC，AA1为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.假设在BC上存在这样的点F，则由A1C1平面BCC1B1推得A1C1C1F.又由(1)的结论A1D平面BCC1B1可推得A1C1A1D.综上，要使平面DA1C1平面FA1C1，只需A1DC1F即可.设BFx，则(x3，0，2)，(3，0，2)，由0，得3(x3)40，x，在BC上存在点F，使得两个平面垂直，只需让BF即可.8.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.(1)求证：PA平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明PAAD1，PD，PA2AD2PD2，即PAAD.又PACD，ADCDD，PA平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，(1，1，0)，.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1，1，2).假设侧棱PC上存在一点F，且(01)，使得BF平面AEC，则n0.又(0，1，0)(，)(，1，)，n120，存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点.