1、浙江省2020届高三数学下学期压轴卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，三者是不同的2.集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的
2、运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽略空集是任何集合的子集2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为，联立解得，故选C.点
3、睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.4.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A. B. 8C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积.【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为，高为；所以该四棱锥的体积是.故选：C.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题5.若实数满足不等式组，则( )A. 有最大值，最小值B. 有最大值，最
4、小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值，无最大值【答案】C【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，设，则直线是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；设，则直线是一组平行线；当直线过点时，有最大值，由，得；所以的最大值为，且无最小值.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题6.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C7.
5、函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案【详解】f（x）f（x），f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，0，排除B，故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题8.已知、，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.详解】对于A选项，取，则成立，但，A选项错误；对于B选项，取，则成立，但，即，B选项错误；对于C选项，由于指数函数在
6、上单调递减，若，则，C选项正确；对于D选项，取，则，但，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.设是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，为中点，过作平面与线段，分别交于点，（可以是线段端点），则四棱锥的体积的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出比例关系，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解.【详解】首先证明一个结论：在三棱锥中，棱上取点则，设与平面所成角，证毕.四棱锥中，设，所以又所以即，又，解得所以体积，令根据对勾函数性质，在递减，在递增所以函数最
7、小值，最大值，四棱锥的体积的取值范围为故选：B【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10.若对圆上任意一点，的取值与，无关， 则实数a的取值范围是( )A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】根据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式
8、，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II卷（非选择题)二填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11.九章算术中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织_尺，若女子坚持日日织，十日能织_尺.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设该女子每天的织布数量为，转化条件得数列为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n项和公式求得后即可得解.【详解】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，设数列的前n项和为，则，解得，所以，.故答案为：，.【点睛】本题考查了等
9、比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.12.二项式的展开式中常数项为_所有项的系数和为_【答案】 (1). (2). 32【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为0，求出的值，将的值代入通项求出展开式的常数项，令，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，令，得到所有项的系数和为，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13.设双曲线的半焦
10、距为c，直线过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为_；渐近线方程为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】可设过（a，0），（0，b）两点的直线方程为，结合点到直线距离公式可得，两式同时平方后，通过代换可转化为关于的一元二次方程，即可求解【详解】由题可设直线方程为：，即，则原点到直线的距离，解得，两式同时平方可得，又，代换可得，展开得：，同时除以得：，整理得，解得或，又，所以，所以；，所以渐近线方程为：故答案为：2；【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14.已知函数，若，则实数_；若存在最
11、小值，则实数的取值范围为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据题意列出关于a的方程即可；在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可【详解】，.易知时，；又时，递增，故，要使函数存在最小值，只需，解得：.故答案为：，.【点睛】本题考查分段函数值域的求法分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题15.设向量满足，若，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】令，计算出模的最大值即可，当与同向时的模最大【详解】令，则，因为，所以当，因此当与同向时的模最大，【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数
12、的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一则不同安排方法的种数是_【答案】36【解析】【分析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，把“民俗调查”安排在周一，有，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有种，把“民俗调查”安排在周一，有，满足条件的不同安排方法的种数为，故答案为：36【点睛】本题考
13、查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17.已知函数若在区间上方程只有一个解，则实数的取值范围为_【答案】或【解析】【分析】令，则方程等价于有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像和的图像，动态平移的图像可得实数的取值范围.【详解】当时，由，得，即；当时，由，得，即.令函数，则问题转化为函数与函数的图像在区间上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数与在区间函数上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当，即时，两个函数的图象只有一个交点；当时，两个函数的图象也只
14、有一个交点，故所求实数的取值范围是.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题三解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.18.已知函数.(1)求的单调递增区间;(2)当时,求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得的最大值和最小值【详解】(1) 函数，令，求得，故函数f(x)的增区间为；(2
15、)若，则，故当时，函数f(x)取得最小值为2；当时，函数f(x)取得最大值为，所以函数的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题.19.如图，四棱柱的底面是菱形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得，由菱形的性质可得，由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面的一个法向量为，的方向向量，由即可得解.【详解】（1）证明：由底面可得，又底面是菱形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.
16、（2）因为底面，以为原点，为，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，取得，又，所以，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20.等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（
17、）把（）求出数列an的通项公式代入设bnlog3a1log3a2log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和试题解析：（）设数列an的公比为q,由9a2a6得9,所以q2由条件可知q0,故q由2a13a21得2a13a1q1,所以a1故数列an的通项公式为an（）bnlog3a1log3a2log3an（12n）故所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和21.已知抛物线（）上的两个动点和，焦点为F.线段AB的中点为，且A，B两点到抛物线的焦点
18、F的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义可得，求出的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB的方程为：，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得，利用AB的中垂线方程可得点C的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d，所以，令，则，利用导数可得最值.【详解】（1）由题意知，则，抛物线的标准方程为；（2）设直线（）由，得，即，即，设AB的中垂线方程为：，即，可得点C的坐标为，直线，即，点C到直线AB的距离，令，则，令，令，则，在上；在上，故在单调递增，
19、单调递减，当，即时，.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题.22.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点.（）求实数的取值范围；（）求证：.（其中为的极小值点）【答案】（1）；（2）（）；（）证明见解析.【解析】【分析】1先求其导函数，转化为，即求的最小值即可；2结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论转化为先证明不等式，若，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可【详解】（1）由，得，设，；则；由，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以因为
20、函数在上单调递增，所以在恒成立所以；所以，实数的取值范围是：.（2）（i）因为函数有两个不同零点，不单调，所以.因此有两个根，设为，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；又，当充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即；又因为；所以：，解得，所以；因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.（）先证明不等式，若，则.证明：不妨设，即证，设，只需证且；因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，从而不等式得证.再证原命题.由得；所以，两边取对数得：；即.因为，所以，因此，要证.只需证；因为在上单调递增，所以只需证，只需证，即证，其中；设，只需证；计算得；.由在上单调递增，得，所以；即在上单调递减，所以：；即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题