1、2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 教案我们知道，在v-t图象中，匀速直线运动的物体对应于一条平行于时间轴的直线，直线下面的面积对应于物体的位移，即x=vt；对于做匀变速直线运动的物体，它的v-t图象是一条倾斜的直线，试想做匀变速直线运动的物体的位移与其v-t图象之间是否也存在这样的关系呢？ 这节课我们就从研究最简单的匀速直线运动的位移开始，进一步研究物体做匀变速直线运动的位移随时间的变化规律。极限思想 在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间隔趋向于0，介绍了瞬时速度和瞬时加速度；本节课介绍速度图象中图线与时间轴之间四边形的面积代表匀变速直线运动的位
2、移时，又一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不要求会计算极限。一、匀速直线运动的位移t t/s矩形面积等于位移吗？vv/（m/s）O矩形位移x=vt矩形面积（S=vt）位移=矩形面积匀速直线运动的位移对应v-t图线与t 轴所围成的面积.匀变速直线运动的位移是否也有这种关系?猜想参考教材中“思考与讨论”栏目，思考下列问题：u 思考一 这个材料中体现了什么科学思想？不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。科学思想方法：先把过程无限分割，以“不变”近似代替“变”，然后再进行累加的思想 ，这是物理思想方法之一。（微元法）u 思
3、考二 此科学思想方法（微元法）能否应用到匀变速直线运动的v-t图象上？二、匀变速直线运动的位移1.探究思路化繁为简的思想方法（微元法）复杂问题简单模型抽象微元法研究2. 从速度图象求匀变速直线运动的位移Ovt图1ABCD仔细研究教材“思考与讨论”栏目中用纸带上各点的瞬时速度估算小车位移的方法，不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。右图中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线。为了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由图中的一些平行于
4、时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。用公式表达匀变速直线运动
5、位移与时间的关系由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移x，可以用图中梯形OABC的面积S表示。而，把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成，将代入，可得匀变速直线运动的位移公式。图中梯形OABC的面积S也可表示为矩形AOCD的面积S1和三角形ABD的面积S2之和，即S= S1+ S2，而，（式中k表示直线AB的斜率），故。把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式。匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号
6、。例1 火车沿平直铁轨匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8kmh，L。1min后变成 54kmh，再经一段时间，火车的速度达到 64 .8kmh。求所述过程中，火车的位移是多少？解析：火车一直做匀加速运动，其位移可由多种不同方法求解。解法1： 整个过程的平均速度m/s时间t=75s则火车位移m解法2： 由得位移m点拨：运动学公式较多，故同一个题目往往有不同求解方法；为确定解题结果是否正确，用不同方法求解是一有效措施。例2 以18ms的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为，求汽车在6s内通过的距离。解析：汽车刹车后到停止的运动时间为，加速度为，由速度公式得：，则汽车
7、在这3s内通过的位移为：m。 3s之后汽车静止不动，故汽车在6s内通过的距离为27m。点评：由于汽车在3s时停止运动，所以直接代入公式求出的结果显然不是汽车运动的实际距离，原因是汽车停止运动后不能自动往回倒退，而直接代入时间求得的结果却是认为汽车一直做匀减速直线运动。所以处理此类问题时，一定要先计算汽车刹车到停止所用的时间，然后与已知时间进行比较，若已知时间大于刹车时间，则计算时不能用已知时间；若已知时间小球刹车时间，则应直接应用已知时间求解。拓展阅读：刘徽的“割圆术”分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用早在公元263年，魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”圆内正多边形的边数越多，其周长
8、和面积就越接近圆的周长和面积他著有九章算术，在书中有很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的想法，含有极限观念，是他的一个大创造他用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值=15750(314)；后来又计算了圆内接正3 072边形的周长，又得到了圆周率的近似值=3 9271 250(3141 6)，用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，早在古希腊的数学家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同时采用内接和外切两种计算，而刘徽只用内接，因而较阿基米德的方法简便得多三、运用平均速度公式求匀变速直线运动的位移对于匀变速直线运动，一段时间内的平均速度可以用计算，所以某段时间内的位移即为
9、。对于已知初、末速度和时间的匀变速直线运动问题，用此公式求位移既直接，又简便快捷。例3 一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速直线滑下（如图所示），初速度是，末速度是，他通过这段山坡需要多长时间?解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度，末速度和位移，待求量是时间，我们可以用不同的方法求解。解法I：利用公式和求解。设滑雪者的加速度为，由公式得；由公式得，联立两式解得：s。所以，滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。解法II：利用平均速度的公式求解。由已知初速度，末速度，位移，根据公式得：。所以，滑雪者通过这段山路需要的时间为25s。 点评：对于
10、匀变速直线运动，计算位移时可根据已知条件灵活选取计算方法，若有图象则应考虑应用图象面积求解，若无加速度，则应考虑运用平均速度公式求解。四、关于刹车时的误解问题例4 在平直公路上，一汽车的速度为15ms。，从某时刻开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度运动，问刹车后10s末车离开始刹车点多远？解析：车做减速运动，是否运动了10s，这是本题必须考虑的。初速度 v0=15ms，a = -2ms2，分析知车运动 7 .5s就会停下，在后 2 .5s内，车停止不动。设车实际运动时间为t，v t=0，a= - 2ms2由知运动时间s所以车的位移m五、图象问题图象是高中阶段经常遇到的问题，图象法也
11、是解题中常用的一种方法图象的优点，首先在于它的直观性，我们可以通过“看”图象来寻找规律和解题的突破口那么，看什么呢？为方便记忆，我总结为“六看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”下面以运动图像为例加以说明1看“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图像是描述的哪两个物理量间的关系，如是位移时间关系？还是速度时间关系？同时要注意单位和标度2看“线”：“线”上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系如xt图像上一个点对应某一时刻的位置，vt图像上一个点对应某一瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程， xt图象反映质点的位移随时间的变化关
12、系；vt图象反映质点的速度随时间的变化关系3看“斜率”：图象的斜率是两个轴所代表的物理量的变化之比，它往往代表另一个物理量的规律例如， xt图象的斜率表示速度， vt图象的斜率表示加速度读图1知：甲中质点的速度为；乙中质点的加速度为图1甲213o 2 4 t/sx/m213o 2 4 t/sv/(m/s)乙4看“面”，即“面积”：图象和坐标轴所夹的面积也往往代表另一个物理量的规律这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析如x和t乘积无意义，我们在分析xt图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积， vt图象下的面积就表示位移例如图乙中4s内的位移等于
13、图象与t轴所围的“面积”，即5看“截距”：截距一般代表物理过程的初始情况，如t=0时的位移和速度图1甲中的截距表示t=0时刻质点的位置(即出发点)在x=1m处；乙中的截距表示质点的初速度为6看“特殊点”：如交点，拐点（转折点）等如图2中图象的交点表示A、B两质点在2s时相遇 (2s时位于同一位置)；图乙中的交点说明2s时C、D两质点速度相等图2BA甲213o 2 4 t/sx/mDC213o 2 4 t/sv/(m/s)乙例5如图所示为一物体做直线运动的速度时间图像，由图象可知，这个物体在第2s内的加速度a=_，在前5s内的平均速度v=_12034t/sv/(m/s)-4解析：因为vt的斜率表
14、示加速度，所以第2秒内的加速度可以由13秒内的斜率求得，求5秒内的平均速度，应先求出5秒内的位移，即用前3秒内的“三角形面积”加上35秒内的“三角形面积”（注意，35秒内的“面积”为负值）,，所以平均速度为答案： 例6 若一质点从开始由原点出发沿直线运动，其速度时间图象如图所示，则关于该质点的下列说法正确的是（ ）As时离原点最远 Bs时离原点最远 Cs时回到原点 Ds时回到原点解析：做直线运动的速度时间图线与时间轴所围成的图形的面积表示了质点的位移，要想离原点最远，则所围成图形的面积应最大。s时，所围成图形为，s时，所围成图形为。很显然，所以s时位移最大，离原点最远；当s时，所围图形为和，由
15、于在轴以下，位移为负，则位移应为，同理s时，位移应为，即位移为零，质点回到出发点，故选项B、D正确。点评：在运用匀变速直线运动的图象求位移时，一定要注意某段时间内图线下方所围的图形是在时间轴的上方，还是在其下方。若在时间轴上方，则图形面积取正值，表明该段时间内的位移为正；若在时间下方，则图形面积取负，表示该段时间内的位移为负，切不可不加区分，就将两部分图形面积直接相加，作为物体运动的总位移。随着学习的深入，你还会遇到各种图象，如动力学中的aF图象、am图象，直流电路中的IU图象，电磁感应和交流电中的Bt图象、t图象、Et图象、Ut图象、It图象等，熟练运用运动的xt和vt图象解题，掌握运用图象解题的方法和技巧，可以为以后的学习打下坚实的基础，并在以后的学习中达到举一反三，融会贯通的境界