1、第一章章末检测卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列几个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是()A0B1C2 D3解析：不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等答案：B2下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两
2、边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥B错误如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥C错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D正确答案： D3如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和
3、侧视图可知选项D正确，故选D.答案：D4将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3C2 D解析：由题意可知该几何体是底面半径r1，母线l1的圆柱，故S侧2rl2112.故选C.答案：C5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A相交 B异面C平行 D垂直解析：因为A1BD1C，D1CEFE，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.答案：A6(2015长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积
4、为()A. B.C. D.解析：底边长为1，高为sin45，S.答案：D7一个锥形的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项C.答案：C8(2016沈阳市教学质量监测(一)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：根据直观图以及图中的辅助四边
5、形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.答案：B9已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，且，则mD若m，且，则m解析：A中可能n；B中m，n还可能相交或异面；C中m，还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D正确答案：D10(2015浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3C.cm3 D.cm3解析：由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为2 cm的正方体，体积V12228(cm
6、3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2222(cm3)，所以该几何体的体积VV1V2(cm3)答案：C11如图所示，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()A. B3C. D2解析：如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以AO.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面体ABCD的外接球的球心为
7、O，半径为.所以该球的体积V3.答案：A12正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：画出图形(如图所示)，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心，即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角设正方体的棱长为a，则cosDD1H.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(2016北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_解析：由题意知该四棱柱为直
8、四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V1.答案：14(2016莱州高二期末)已知PA，PB，PC两两垂直且PA，PB，PC2，则过P，A，B，C四点的球的体积为_解析：以PB，PA，PC为长方体的长、宽、高作长方体，则长方体的对角线长为3，即球半径为，V球R3.答案：15(2016天津卷)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.解析：由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积VSh2132.答案：216(2016全国卷甲)，是两个平面，m，n是两条直
9、线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
10、步骤)17(10分)已知一个几何体的三视图如图，试求它的表面积和体积(单位：cm)解析：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，且棱柱的某个侧面在水平面上直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，.所以此几何体的体积VS梯形h(12)11(cm3)表面积S表面2S底S侧(12)12(112)1(7)(cm2)18(12分)已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高解析：如图，正三棱台ABCA1B1C1中，O，O1为两底面的中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1
11、为棱台的斜高由已知可得A1B120 cm，AB30 cm，则OD5 cm，O1D1 cm.由其侧面积等于两底面面积的和可得(6090)DD1(202302)，解得DD1(cm)在直角梯形O1ODD1中，O1O4(cm)，即棱台的高为4 cm.19(12分)(2016常德高一检测)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.证明：(1)在PAC中，D，E分别为PC，AC的中点，则PADE，PA平面DEF，DE平面DEF，因此PA平面DEF.(2)在DEF中，DEPA3，EFB
12、C4，DF5，所以DF2DE2EF2，所以DEEF，又PAAC，所以DEAC.因为EFACE，所以DE平面ABC，DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.20(12分)如图，在直三棱柱ADFBCE中，ABADDFa，ADDF，M，G分别是AB，DF的中点(1)求该直三棱柱的体积与表面积；(2)在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明解析：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为aaaa3，表面积为a22a2a2a2(3)a2.(2)当点P与点A重合时，GP平面FMC.取FC的中点H，连接GH，GA，MH.G是DF的中点，GH綊CD.又M是AB的中点，AB綊CD，AM綊CD.GHAM且
13、GHAM，四边形GHMA是平行四边形，GAMH.MH平面FMC，GA平面FMC，GA平面FMC，即当点P与点A重合时，GP平面FMC.21(12分)(2016贵州省适应性考试)已知长方形ABCD中，AB3，AD4.现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示(1)试问：在折叠的过程中，直线AB与CD能否垂直？若能，求出相应a的值；若不能，请说明理由；(2)求四面体ABCD体积的最大值解析：(1)直线AB与CD能够垂直因为ABAD，若ABCD，ADCDD，则有AB平面ACD，从而ABAC.此时，a，即当a时，有ABCD.(2)由于BCD面积为定值，所以当点A到平面BCD
14、的距离最大，即当平面ABD平面BCD时，该四面体的体积最大，此时，过点A在平面ABD内作AHBD，垂足为H，则有AH平面BCD，AH就是该四面体的高在ABD中，AH，SBCD346，此时VABCDSBCDAH，即为该四面体体积的最大值22(12分)(2016济宁高一检测)四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图如图所示(1)求EF与平面ABCD所成角的大小；(2)求二面角BPAC的大小解析：根据三视图可知：PA垂直平面ABCD，点E，F分别为AC和PB的中点ABCD是边长为4的正方形，且PA4.(1)如图，取AB中点G，连接FG，GE，则FGPA，GEBC，所以FG平面ABCD，FEG为EF与平面ABCD所成的角，在RtFGE中，FG2，GE2，所以FEG45.(2)因为PA平面ABCD，所以PABA，PACA，所以BAC为二面角BPAC的平面角又因为BAC45.所以二面角BPAC的平面角的大小为45.