1、2019-2020学年宁夏六盘山高级中学高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1. 设向量，若向量，则x的值为（ ）A. B. 2C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量平行的性质直接求解.【详解】解：向量，向量，解得.故选：A.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.2. 若角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正切的三角函数定义，得答案.【详解】由正切的三角函数定义可知故选：C【点睛】本题考查正切的三角函数定义，属于基础题.3. 已知M是的边上的中点，若向量，则向量等于（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、C【解析】【分析】根据向量加法平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，解出向量.【详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，所以.故选：C.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.4. 已知扇形的周长为，扇形的圆心角的弧度数是，则半径是（ ）A. 4B. 1C. 1或4D. 2【答案】B【解析】【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，列出方程组求出r的值.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则周长为，又扇形的圆心角弧度数是，即；由，解得，；所以半径是1.故选：B.【点睛】本题主要考查扇形的周长及弧长公式，根据条件列出方程组是求解的关键，侧重考查数学运
3、算的核心素养.5. 在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）在上单调递增，以为周期；是奇函数A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正切函数与余弦函数的单调性与周期性和奇偶性逐个判断即可.【详解】对A，周期为，不满足，故排除A；对B，在上单调递减，且为偶函数，故排除B；对C，满足条件.对D，在上单调递减，且周期为，故排除D.故选：C【点睛】本题主要考查了正切函数与余弦函数的单调性与周期性、奇偶性等.属于基础题.6. 下列各式中，值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题可通过二倍角的正弦公式求出，然后根据二倍角的余弦公式求出，再然后根据二倍角的余弦公
4、式以及两角差的余弦公式求出，最后通过二倍角的正切公式求出，即可得出结果.【详解】选项A：；选项B：；选项C：；选项D：，故选：B.【点睛】本题考查二倍角公式以及两角差的余弦公式的应用，考查的公式有、以及，考查计算能力，是简单题.7. 函数（，）的图象的一部分如图所示，则它的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数图象的最高点纵坐标求出A，根据周期求出，根据点的坐标求出的值.【详解】根据函数图象的最高点的纵坐标为2，得；由图象得，所以周期，所以；又时，且，应取；所以函数的解析式为.故选：D【点睛】本题考查利用函数部分图象求解析式，利用三角函数性质是解题的关键，属于
5、基础题.8. 下列说法正确的是（ ）A. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小B. 若，则两个向量的夹角为钝角C. 在中，若，则为锐角三角形D. 是周期为的偶函数【答案】D【解析】【分析】由平面向量的基本概念，可判断选项A；由向量的数量积及向量夹角的范围，可判断选项B；由向量的数量积运算，可判断选项C；由三角函数的周期，可判断选项D.【详解】对于A：向量是矢量，不能比较大小，故A错误；对于B：若，则两个向量的夹角为钝角或为，故B错误；对于C：在中，由，可得A为锐角，但不一定为锐角三角形，故C错误；对于D：的周期为，记，则，所以为偶函数，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查平面向
6、量的相关知识及三角函数的性质，属于知识拼盘型题目，属于容易题.9. 已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是( )A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到
7、原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.10. 的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数则函数的图象( )A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】C【解析】【分析】先根据周期确定，然后结合变换后的函数
8、是奇函数可求，再研究对称性可得选项.【详解】因为的最小正周期为，所以；向左平移个单位后得到的函数为，由奇函数可得,解得，所以；因为，所以函数的图象既不关于点对称，也不关于直线对称；因为，所以函数的图象关于直线对称；故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，图象变换时注意系数对解析式的影响，三角函数的性质一般利用整体代换进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.二、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11. 已知，向量，.（1）当实数x为何值时，与垂直.（2）若，求在上投影.【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）令，
9、列方程解出x.（2）运用向量的数量积的定义可得，再由在上的投影为，计算即可得到所求值.【详解】（1），向量，.与垂直，可得，解得，或（舍去）.（2）若，则，可得，可得在上的投影为.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，向量在另一个向量方向上的投影的求解，属于简单题目.12. （1）已知非零向量、不共线，欲使和共线，试确定实数k的值.（2）已知向量，求与夹角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可以根据和共线得出，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据得出，然后根据以及求出，最后根据即可得出结果.【详解】（1）因和
10、共线，非零向量、不共线，所以存在唯一实数使，即，则，即，故当时，和共线.（2）因为，所以，令与夹角为，因为， 所以，解得，因为，所以与的夹角.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量、共线，则存在唯一实数使，若非零向量、垂直，则，考查计算能力，是中档题.13. 已知，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简求解；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解.【详解】（1）由于，其中，所以；（2）由于，其中，可得：，.【点睛】本题主要考查利用同角三角函数基本关系
11、式化简求值.14. 已知函数，.（1）求的对称中心和最小正周期；（2）若，求的值.【答案】（1）对称中心为（），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系系的变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步求出函数的对称中心和最小正周期.（2）利用三角函数的关系式的平方求出结果.【详解】（1），令，解得（），所以函数的对称中心为（），函数的最小正周期为.（2）由于，所以，故，解得.【点睛】本题考查三角函数的对称中心、周期，考查三角函数的化简和求值，属于基础题15. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求+的值（2）若AB2
12、，当1时，求DF的长【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先转化得到，再表示出，求出，最后求+的值；（2）先得到和，再建立方程求解，最后求DF的长.【详解】（1）点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，故+.（2）设，则，又，0，（）（）24+21，故，DF（1）2【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题三、填空题（共5小题）.16. 已知点，点，则与共线的单位向量为_.【答案】或【解析】【分析】求出和，即可写出与共线的单位向量.【详解】解：点，点，所以，所以，所以与共线的单位向量为，即或.故答案为：或.【点睛】本题考查单位向量的概念，考查运算求解能力，求解时注意向量是既
13、有大小又有方向的量.17. 两个大小相等的共点力，当它们的夹角为时，合力大小为.当它们的夹角为时，合力大小为_.【答案】【解析】分析】根据向量的平行四边形法则，作出图形，利用三角形的边角关系，即可求出，与合力的大小.【详解】根据向量的平行四边形法则，作出下图如图所示；则；若，的夹角为，即，则；若夹角为，则，所以为等边三角形，所以；即合力的大小为.故答案为：.【点睛】本题主要考查用作图的方法求向量的加法.18. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简已知，得到关于的方程，得到的值，然后把所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将的值代入即可求出值.【详解】由，解得：
14、，则.故答案为：.【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点，分子是减号，分母是加号19. 若在是增函数，则a的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a的最大值.【详解】解：在是增函数，则a的最大值是，故答案为：.【点睛】本题考查辅助角公式的运用、单调性的运用，考查运算求解能力.20. 设函数的图象为C，给出下列命题：图象C关于直线对称；函数在区间内是减函数；函数是奇函数；图象C关于点对称.其中，错误命题的是_.【答案】【解析】【分析】根据函数的图象与性质，分析函数的对称性，奇偶性与单调性，即可得出结论.【详解】解：
15、由，得，令，直线为函数图象的对称轴，故图象C关于直线对称，故正确；由，得，令，得函数在区间内是增函数，故错误；，故函数不是奇函数，故错误；由，得，图象C不关于点对称，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.四、解答题（21题12分，22题13分，共25分）21. 在平面直角坐标系中，设向量.（1）若，求的值；（2）求的最大值及取得最大值时的值.【答案】(1)或;(2)最大值,.【解析】【分析】(1)求出,由可得,结合可求出所求.(2) ,结合和正弦函数的图像,即可分析出最值及取得最大值时的值.【详解】解:(1
16、)因为所以因为,所以.因为,所以于是或.(2)因为,所以,于是.所以当,即时,取最大值.【点睛】本题考查了向量的模,考查了向量的数量积,考查了三角恒等变换,考查了三角函数的最值.对于 型的函数,在求最值、对称轴、对称中心、单调区间时,一般都是采取整体的思想进行计算.22. 已知函数.（1）求函数单调减区间；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位得到的图象，若在有两个零点，求的范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为型函数，利用正弦函数的单调性即可得单调递减区间；（2）由图象变换法则分两步得函数的解析式，由题意可得函数与在有两个交点，可得，即可解得的取值范围.【详解】（1），令，解得：，可得函数的单调递减区间为：，.（2）将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位，得，在有两个零点，即函数与在有两个交点，可得，解得，即m的取值范围是.【点睛】本题考查二倍角公式、函数图像变换与性质及利用函数性质解决函数零点问题，属于基础题.
