1、第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2.有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan tan ).(2)tan tan 11.3.式子f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().特别地，sin cos sin.常用结论与易错提醒1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；
2、(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差角的相对性，要注意“1”的各种变通.如tan1，sin2cos21等.3.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的.4.在三角求值时，常需要确定角的范围.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)在两角和、差的正切公式中，使两端分别有意义的角的范围不完全相同.()(4)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan t
3、an )，且对任意角，都成立.()解析(4)变形可以，但不是对任意的，都成立，k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)2.(2019全国卷)tan 255()A.2 B.2C.2 D.2解析tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)2.故选D.答案D3.若tan ，tan()，则tan ()A. B. C. D.解析tan tan()，故选A.答案A4.(一题多解)(2018全国卷)已知tan，则tan _.解析法一因为tan，所以，即，解得tan .法二因为tan，所以tan tan.答案5.(2020南京、盐城一模)已知锐角，满足(tan 1)(tan 1)2，则的值为
4、_.解析因为(tan 1)(tan 1)2，所以tan tan tan tan 1，因此tan()1，因为(0，)，.答案6.(2019宁波调研)已知sin ，且sin()cos ，则tan()_.解析因为sin ，所以cos ，由sin()cos cos()cos()cos sin()sin cos()sin()得sin()cos()，所以tan()2.答案2考点一两角和、差公式的正用【例1】 (1)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.(2)若sin()，sin()，求的值.(1)解析tan tan()0，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(
5、2)解由条件得所以相除得5.规律方法(1)熟练掌握两角和、差的公式；(2)求角的值或三角函数值尽量用特殊角表示.【训练1】 (1)sin 75_.(2)(2020杭州二中模拟)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos 的值为()A. B. C. D.解析(1)sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.(2)因为0，所以0.因为cos ，所以sin ，因为sin()，0，sin sin()，所以，所以cos().所以cos cos()cos()cos sin()sin ，故选A.答案(1)(2)A考点二两角和、差公式的逆用【例2】 计算cos 10si
6、n 10tan 702cos 40.解原式2cos 402cos 402cos 402cos 402.规律方法(1)熟悉两角和、差公式展开式的结构特征；(2)对asin bcos 的式子注意化为一个角的一种函数(辅助角公式)；(3)注意切化弦技巧.【训练2】 (1)_.(2)(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.解析(1)原式4.(2)sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().答案(1
7、)4(2)考点三两角和、差公式的灵活应用【例3】 求的值.解因为tan 60tan(7010)，所以tan 70tan 10tan 60tan 60tan 70tan 10，即tan 70tan 10tan 120tan 60tan 70tan 10，所以.规律方法(1)两角和、差正切公式的变形tan tan tan()(1tan tan )，特别地，若，则tan tan 1tan tan ；(2)当条件或式子中出现正切的和、差式及乘积式的情况，应注意利用(1)中的变形；(3)已知三角函数的值求其他三角函数值时，注意用已知函数值的角表示要求函数值的角.【训练3】 (1)已知A，B为锐角，且满足
8、tan Atan Btan Atan B1，则cos(AB)_.(2)若，都是锐角，且sin ，sin()，则cos _.解析(1)由tan Atan Btan Atan B1，得1，即tan(AB)1.A，B，0AB0，0，cos().cos cos()cos cos()sin sin().答案(1)(2)基础巩固题组一、选择题1.sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B.C. D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D2.化简的结果是()A.tan B.tan 2xC.tan x D.
9、解析原式tantan(x)tan x.答案C3.(1tan 17)(1tan 28)的值是()A.1 B.0 C.1 D.2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案D4.函数f(x)sin xcos的值域为()A.2，2 B.，C.1，1 D.解析原式sin xsin xcos xsin xsin xcos xsin，.答案B5.(2019浙江名师预测卷一)已知R，则“tan 2”是“sin”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当tan 2时，若为
10、第一象限角，则sin ，cos ，此时sin(sin 2cos 2)(2sin cos cos2sin2)；若为第三象限角，则sin ，cos ，此时sin(sin 2cos 2)(2sin cos cos2sin2)；反之，当sin时，易知，即，解得tan 2或tan ，所以“tan 2”是“sin”的充分不必要条件，故选A.答案A6.已知sincos ，则cos()A. B. C. D.解析sincos ，即sin coscos sin cos ，sin cos ，sin cos ，sin，coscossin.答案C二、填空题7.若函数f(x)4sin xacos x的最大值为5，则常数a
11、_.解析f(x)sin(x)，其中tan ，故函数f(x)的最大值为，由已知得5，解得a3.答案38.(一题多解)化简sin2sincos_.解析法一原式2sin xcos x0.法二原式2sin22sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin0.答案09.已知是第四象限角，且sin，则sin _；tan_.解析由题意，sin，cos，解得tan ，tan.答案10.(2020柯桥区调研)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P，则tan()_，若角满足tan()，则tan _.解析由题意得tan()tan ，tan()，解得tan .答案三、解答题11.
12、(1)求的值；(2)已知cos，cos，求cos的值.解(1)原式2.(2)coscoscoscossinsin，因为0，则，所以sin，又因为0，则0，所以，(0，)，从而有.(2)由上可得cos()cos cos sin sin .由tan tan 6，得sin sin 6cos cos ，解得sin sin ，cos cos ，故cos()cos cos sin sin .能力提升题组13.设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为()A.，1 B.1，C.1，1 D.1，解析sin cos cos sin 1，sin()1，0，由，sin(
13、2)sin(2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求的取值范围是1，1，故选C.答案C14.已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为()A. B. C. D.解析设直线OA的倾斜角为，B(m，n)(m0，n0)，则直线OB的倾斜角为，因为A(4，1)，所以tan ，tan，即m2n2.因为m2n2(4)21249，所以n2n249，所以n或n(舍去)，所以点B的纵坐标为.答案D15.若x，y，且sin 2x6tan(xy)cos 2x，则xy的取值不可能是()A. B. C. D.解析由x，y得2x(0，)，xy，则sin 2x0
14、，所以cos 2x0，tan (xy)(，0)(0，)，又由sin 2x6tan(xy)cos 2x得6tan(xy)tan 2x，不妨设6tan(xy)tan 2x6a(a0)，则tan(xy)tan2x(xy)，设k(k0)，则有6ka25ak0有解，则(5)246k20，解得k0或0k，因为tan ，故选C.答案C16.已知sinsin ，0，则cos 的值为_.解析由sinsin ，得sin cos sin，sin.又0，所以，于是cos.所以cos coscoscos sinsin .答案17.(2020浙江名师预测卷一)函数f(x)2cos2x2sin xcos x1.(1)求方程
15、f(x)的解；(2)若x时，有f(x)，求sin 2x的值.解(1)由题意得f(x)cos 2xsin 2xsin，即sin，所以2x2k或2x2k(kZ)，所以xk或xk(kZ).(2)因为f(x)，所以sin.又因为x，所以2x，则cos，所以sin 2xsin.18.已知向量a(cos ，sin )，b(2，1).(1)若ab，求的值；(2)若|ab|2，求sin的值.解(1)由ab可知，ab2cos sin 0，所以sin 2cos ，所以.(2)由ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|2，即12cos sin 0.又cos2sin21，且，所以sin ，cos .所以sin(sin cos ).