1、第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知 识 梳 理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.
2、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线常用结论与易错提醒1.象限角2.轴线角诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)小于90的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30.()(4)若，则tan sin .()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()解析(1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.
3、(3)顺时针旋转得到的角是负角.(5)终边相同的角不一定相等.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.角870的终边所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由8703360210，知870角和210角的终边相同，在第三象限.答案C3.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.答案C4.已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A. B. C. D.解析角的终边经过点(4，3)，x4，y3，r5.
4、cos ，故选D.答案D5.(必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度.解析该弦与两条半径构成等边三角形，故圆心角为60，即.答案6.弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_.解析135135(弧度)，由，得r4，S扇形lr436.答案46考点一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角是第二象限角，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角(2)终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_.解析(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.(2)如图，在坐标
5、系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案(1)C(2)规律方法(1)利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置.【训练1】 (1)(一题多解)设集合M，N，那么()A.MN B.MNC.NM D.MN(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析(1)法一
6、由于M，45，45，135，225，N，45，0，45，90，135，180，225，显然有MN，故选B.法二由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.(2)当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.答案(1)B(2)C考点二弧度制及其应用【例2】 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)
7、若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60 rad，lR10(cm).(2)由题意得解得(舍去)，故扇形圆心角为.(3)由已知得，l2R20(cm).所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5时，S取得最大值25(cm2)，此时l10，2.规律方法应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【训练2】 已知一扇形的圆心角为 (0)，所在圆
8、的半径为R.(1)若90，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则90，R10，l105(cm)，S弓S扇S5101022550(cm2).(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇R2.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.考点三三角函数的概念【例3】 (1)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A. B. C. D.(2)(2018北京卷)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若
9、tan cos 0，即m，故选B.(2)设点P的坐标为(x，y)，tan cos sin ，利用三角函数的定义可得xy，所以1x0，0ybc B.bacC.acb D.cab(3)满足cos 的角的集合为_.解析(1)由|OP|2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .(2)当时，sin ，cos ，tan (，1)，所以sin cos tan ，即abc，故选A.(3)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.答案(1)C(2
10、)A (3)基础巩固题组一、选择题1.已知角的终边经过点P(4，m)，且sin ，则m()A.3 B.3 C. D.3解析sin ，易知m0，解得m3.答案B2.已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边所在的象限为()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析由题意知tan 0，cos 0，是第二象限角.答案B3.给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确.40036040，从而正确.31536045，从而正确.答案
11、C4.点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin .答案A5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B. C. D.2解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，.答案C6.设是第三象限角，且cos ，则是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角.答案B7.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，
12、则cos 2()A. B. C. D.解析由题意知tan 2，即sin 2cos ，将其代入sin2cos21中可得cos2，故cos 22cos21.答案B8.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限角.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sinsin，但与的终边不相同，
13、故错；当cos 1，时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错.综上可知只有正确.答案A二、填空题9.设P是角终边上一点，且|OP|1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是_.解析由已知P(cos ，sin )，则Q(cos ，sin ).答案(cos ，sin )10.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_.解析在0，2)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为.答案11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_.解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得答案12.函数y的定义域为_.解析2sin x10，sin x.由三角函数线画出x满
14、足条件的终边范围(如图阴影所示).x(kZ).答案(kZ)13.在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边的角的终边经过点，则sin _，tan 2_.解析1，点在单位圆x2y21上，由三角函数的定义知sin ，cos ，tan ，tan 2.答案14.若是第二象限角，则sin(cos )的符号为_，cos(sin )的符号为_.解析是第二象限角，1cos 0，0sin 1，sin(cos )0.答案负正能力提升题组15.已知角的终边与单位圆x2y21交于点P，则2cos21()A. B. C. D.1解析由三角函数的定义知，cos ，2cos2121.答案A16.设是第二象限角，P(x，4)为其
15、终边上的一点，且cos x，则tan ()A. B. C. D.解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0，则实数a的取值范围是_.解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.2a3.答案(2，319.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d_(其中t0，60)；d的最大值为_cm.解析根据题意得AOB2，故d25sin10sin(t0，60).t0，60，0，当t30时，d最大为10 cm.答案10sin1020.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为_.解析如图，作CQx轴，PQCQ, Q为垂足.根据题意得劣弧2，故DCP2，则在PCQ中，PCQ2，|CQ|cossin 2，|PQ|sincos 2，所以P点的横坐标为2|CQ|2sin 2，P点的纵坐标为1|PQ|1cos 2，所以P点的坐标为(2sin 2，1cos 2)，故(2sin 2，1cos 2).答案(2sin 2，1cos 2)
