1、第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的性质与图象学习目标1.掌握正切函数的性质及其应用;2.理解并掌握作正切函数图象的方法;3.体会类比、换元、数形结合等思想方法.学习过程【问题激趣导学】1.画出下列各角的正切线:2.复习相关诱导公式tan(x+)=;tan(-x)=.【基础知识再现】探究一正切函数的性质1.正切函数的定义域.2.正切函数的周期性由诱导公式tan(x+)=,可知函数y=tan x(x+k,kZ)是函数,且它的周期是.3.正切函数的奇偶性因为tan(-x)=,所以正切函数y=tan x(x+k,kZ)是函数.4.正切函数的单调性由图()()(课本P43)正切
2、线的变化规律可以得出,正切函数在(-)内是函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间内都是增函数.5.正切函数的值域由图()可知,当x大于-且无限接近于-时,正切线AT向y轴的负方向无限延伸;由图()可知,当x小于且无限接近于时,正切线AT向y轴的正方向无限延伸.因此,y=tan x在(-)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是.探究二正切函数的图象1.利用正切线画出y=tan x,x(-)的图象.2.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数y=tan x,xR且x+k(kZ)的图象,称“正切曲线”.3.如何快速作出正切函数的简图?4.根据图象讨
3、论验证正切函数的性质.【探究成果展示】【例1】求函数y=tan(x+)的定义域、周期和单调区间.【例2】解不等式tan x.【例3】求函数y=的定义域.【例4】比较tan与tan的大小.【课堂练习】1.求函数y=tan3x的定义域、值域和单调增区间.2.观察正切曲线,写出满足下列条件的x的取值范围:(1)tan x0;(2)tan x=0;(3)tan xtanB.tantanC.tan(-)tan(-)D.tan(-)tan(-)4.在下列函数中,同时满足:在(0,)上递增;以2为周期;是奇函数的是()A.y=tan xB.y=cos xC.y=tanD.y=-tan x5.函数tan224
4、,sin136,cos310的大小关系是(用不等号连接).6.画出y=|tan x|的图象,并指出定义域、值域、最小正周期、单调区间.参考答案问题激趣导学1.(略)2.tan(x+)=tan x;tan(-x)=-tan x,xR且x+k,kZ【基础知识再现】探究一正切函数的性质1.x|x+k,kZ2.tan x(xR,且x+k,kZ)奇3.-tan x(xR,且x+k,kZ)奇4.增(-+k,+k),kZ5.R探究二正切函数的图象1.2.3.只需作出(-)上的图象,进行平移即可.4.(略)【探究成果展示】【例1】解:令x+k,kZ,得x+2k,kZ,所以函数y=tan(x+)的定义域为x|x
5、+2k,kZ.周期T=2.令-+kx+k,kZ,得-+2kx+2k,kZ,所以函数y=tan(x+)的单调增区间为(-+2k,+2k),kZ.【例2】解:因为tan x,所以tan xtan,因为y=tan x在(-)上单调递增,所以在(-)上,tan x的解集为).又因为y=tan x是周期为的周期函数,所以tan x的解集为+k,+k),kZ.【例3】解:由题意得tan x1,即x+k,且x+k,kZ,所以函数y=的定义域为x|x+k,且x+k,kZ.【例4】解:因为tan=tan(-),且y=tan x在(-)上单调递增,所以tantan,即tansin136cos3106.定义域:x|x+k,kZ;值域:0,+);最小正周期:;单调增区间:k,+k),kZ,单调减区间:(-+k,k,kZ.
