1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二数学上学期期初考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a，b，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 2. 若是的内角，且，则A与B的关系正确的是A. B. C. D. 无法确定3. 已知、a、x、b、依次成等比数列，则实数x的值为A. 3B. C. 3或D. 不确定4. 过点且与直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. 5. 一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为 A. B. C. D. 6. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，且，则
2、C. 若，则D. 若，且，则7. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则A. B. C. D. 8. 点为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为A. B. C. D. 9. 已知正数满足，则的最小值为 A. 5B. C. D. 210. 如图，长方体中，那么异面直线与所成角的余弦值是A. B. C. D. 11. 已知数列的通项公式，前n项和为，若，则的最大值是A. 5B. 10C. 15D. 2012. 在三棱锥中，平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 直线恒过定点_14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，
3、c，已知，则的最大值为_15. 设数列的前n项和为，若，且，则_16. 设圆：圆：点A，B分别是圆，上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是AB的中点，F是的中点 求证：平面；若，求二面角的正弦值18. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足： 求角A的大小； 若，求的最大值19. 设为正项数列的前n项和，且满足求的通项公式；令，若恒成立，求m的取值范围20.已知两个定点，动点P满足设动点P的轨迹为曲线E，直线l：求曲线E的轨迹方程；若l与曲线E交于不同的C，D两点，且为坐标原点，求
4、直线l的斜率；若，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点数学试卷答案和解析1.【答案】D【解析】解：由，A.取，时不成立；B.取，时不成立；C.取时不成立；D.，可得：恒成立故选：D通过赋值法及利用不等式的基本性质即可判断出结论本题考查了赋值法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.【答案】B【解析】解：由正弦定理得，即故选：B根据正弦定理转化为，利用大角对大边的性质进行判断即可本题主要考查三角函数角的大小比较，结合正弦定理以及大边对大角是解决本题的关键3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，
5、考查了推理能力与计算能力，属于中档题由、a、x、b、依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出【解答】解：、a、x、b、依次成等比数列，奇数项的符合相同，则故选：B4.【答案】C【解析】解：由于直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，故所求直线的方程为，即，故选：C由两直线垂直的性质求出所求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，化为一般式本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题5.【答案】C【解析】解：圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，圆锥体的高为，故圆锥的体积，故选：C利用圆锥的侧
6、面展开图，扇形的面积，然后转化求解圆锥的体积本题考查圆锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力6.【答案】D【解析】解：对于A，若，则或与相交，故错；对于B，若，且，则m与不一定垂直，故错；对于C，若，则与位置关系不定，故错；对于D，则，故正确故选：D利用面面、线面位置关系的判定和性质，直接判定本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间相互关系的合理运用7.【答案】D【解析】解：，由正弦定理，可得：，由余弦定理，可得：，解得：，负值舍去故选：D由已知利用正弦定理可求c的值，根据余弦定理可得，解方程可得a的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用
7、，考查了方程思想，属于基础题8.【答案】C【解析】解：是圆的弦，圆心为设AB的中点是满足因此，AB的斜率可得直线AB的方程是，化简得故选：C由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程本题给出圆的方程，求圆以某点为中点的弦所在直线方程，着重考查了直线与圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题9.【答案】C【解析】解：，所以，则，所以，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：C由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中
8、等题10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题先将平移到，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，设，则，将平移到，则是异面直线与所成角，故选：A11.【答案】B【解析】解：根据题意，数列的通项公式是，其前n项和是，有，即当最大时，取得最大值；若，且，解可得：，即当时，的值为正即当，时，此时取得最大值10故选：B根据题意，由数列的性质可得，结合数列的通项公式以及二次函数的性质分析可得当时，的值为正，进而可得当，时，取得最大值，利用通项公式计算的值，即可得答案本题考查等差数列的前
9、n项和与前m项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12.【答案】C【解析】解：如图，由题意，的外接圆的半径平面ABC，且，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的表面积为故选：C由题意画出图形，求出底面三角形ABC的外接圆的半径，进一步求得三棱锥的外接球的半径，再由球的表面积公式求解本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13.【答案】【解析】解：直线，由题得，解得，直线过定点故答案为：直线，化为，由此能求出直线经过的定点本题考查直线经过的定点坐标的求法，考查直线方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】
10、【解析】解：由，由余弦定理得，即，故，即的最大值为，故答案为：结合余弦定理以及基本不等式，利用三角形的面积公式进行求解即可本题主要考查三角形面积最值的计算，结合余弦定理，以及基本不等式进行转化是解决本题的关键15.【答案】【解析】解：由于数列的前n项和为，若，所以常数，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，整理得，故答案为：直接利用递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型16.【答案】【解析】解：可知圆的圆心，圆的圆心，如图所示对于直线上的任一点P，由图象可知，要使的得最小值
11、，则问题可转化为求的最小值，即可看作直线上一点到两定点距离之和的最小值减去7，又关于直线对称的点为，由平面几何的知识易知当与P、共线时，取得最小值，即直线上一点到两定点距离之和取得最小值为的最小值为故答案为：求出圆心坐标和半径，结合圆的地产进行转化求解即可本题主要考查圆与圆位置关系的应用，利用数形结合结合对称性进行转化是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度17.【答案】证明：连接，F分别为AB，的中点，长方体中，四边形是平行四边形，平面，平面，平面解：在长方体中，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0，0，2，1，设平面的一个法向量，则，取，则同样可求出平面的一个法
12、向量二面角的正弦值为【解析】连接，推导出，则四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面在长方体中，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值本题考查线面平行的证明，考查三面角的正弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18.【答案】解：，由余弦定理可得：，又在中，由及，可得：，即，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，故的最大值为2【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得
13、，结合范围，可求A的值由及，可得，由，即可求得的最大值19.【答案】解：由题，令，得，解得，当时，得：，即是以3为首项，2为公差的等差数列，；，若恒成立，则，的取值范围为【解析】由已知和数列的性质，可推出此数列为等差数列，利用定义写出通项即可；首先将变形成差的形式，利用这一特点可以消项化简，解不等式的m范围本题属于一般题型，考察了数列的定义和基本性质，对式子的变形有所考察，总体上属于中档题20.【答案】解：设点P的坐标为，即，整理可得，所以曲线E的轨迹方程为依题意，且，则点O到CD边的距离为1，即点到直线l：的距离，解得，所以直线l的斜率为依题意，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l：上的动点，设，则圆F的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为又因为M，N在曲线E：上，由，可得，即直线MN的方程为由且可得，解得，所以直线MN是过定点【解析】本题考查轨迹方程，涉及点到直线的距离公式，两点间的距离公式等，属于综合题，难度较大设点P的坐标为，根据列方程化简可得轨迹方程；，且，则点O到CD边的距离为1，列方程求解即可；依题意，则M，N都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线l：上的动点，设，联立两个圆的方程求解即可