1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1集合与函数的概念 第一章 章末整合提升第一章 专 题 突 破 3知 识 网 络 1要 点 归 纳 2即 时 巩 固 4知 识 网 络要 点 归 纳1集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意2集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解题
2、时，已知条件中出现AB时，不要遗漏A.3集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如ABABAABB.4函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间a，b上是增函数或减函数，必须证明对a，b上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间a，b上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1x2f
3、(x1)f(x2)(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)0在区间I上至多有一个实数根(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)g(x)亦与它们的单调性相同函数单调性的判断方法：定义法；图象法5函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提专 题 突 破专题一 集合学习中的注意点剖析集合主要考查同学们对集合基本概念的认识和理解，以及对集合语言和集合思想的运用由于集合中的概念较多
4、，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，因而同学们在学习过程中常会不知不觉地出错，下面对集合学习中的注意点进行剖析1注意正确理解、运用集合语言例 1(1)设集合 Ax|yx2，B(x，y)|yx2，则 AB_；导学号 22840446(2)设集合My|yx21，xR，Ny|yx1，xR，则MN()A(0,1)，(0,2)B(0,1)，(0,2)Cy|y1或y2Dy|y1分析 首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集解析(1)集合A中的元素为数，即表示二次函数yx2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线yx2上的点的集合这两个集合不可能有相同的元素，故AB.(2)集合M，N的元素都是数，
5、即分别表示定义域为实数集R时，函数yx21与yx1的值域，不是数对或点，故选项A，B 错 误 而 M y|y x2 1，xR y|y1，N y|yR，所以MNM.故选D.答案(1)(2)D规律总结 学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的解析 由题意a21，或(a1)21，或a23a31，解得a1，或a2，或a0.当a2时，(a1)2a23a31，不符合元素的互异性这一特点，故a2.同理a1.故a0.2注意元素的互异性例 2 已知 1a2，(a1)2，a23a3，求实数 a 的值.导学号 2
6、2840447规律总结 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验分析 符号UA隐含了AU，注意不要忘记A的情形解析 当A时，方程x24xp0无实数解此时164p0，p4，UAUU1,2,3,4,5当A时，方程x24xp0的两个根x1，x2(x1x2)，必须来自于U.3注意空集的特殊性例 3 已知全集 U1,2,3,4,5，Ax|x24xp0，求UA.导学号 22840448由于x1x24，所以x1x22或x11，x23.当x1x22时，p4，此时A2，UA1,3,4,5；当x11，x23时，p3，此时A1
7、,3，UA2,4,5综上所述，当p4时，UA1,2,3,4,5；当p4时，UA1,3,4,5；当p3时，UA2,4,5规律总结 求集合的补集时，不要忘记的情形分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到 专题二 求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3)复合函数问题：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域注意 f(x)中的x与
8、f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围例 4(1)函数 f(x)3x21x(3x1)0 的定义域是()A(，13)B(13，1)C(13，13)D(，13)(13，1)(2)已知函数 yf(x1)定义域是2,3，则 yf(2x1)的定义域是()A0，52B1,4C5,5D3,7 导学号 22840449解析(1)由题意得，1x0，3x10，解得 x1 且 x13.(2)由2x3，得1x14，故12x14，解得 0 x52.答案(1)D(2)A专题三 二次函数的单调性二次函数的单调性关键在于开口方向和对称轴与区间的位置例 5 已知 f(x)x22(a1)xa2，分别求下列条件
9、下a 的取值范围.导学号 22840450(1)函数 f(x)的减区间为(，1；(2)函数 f(x)在(，1上递减；(3)函数 f(x)在1,2上单调分析 此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定解析 函数f(x)x22(a1)xa2的对称轴为x1a.(1)由于减区间为(，1，因此，1a1，a2.(2)由于函数在(，1上递减，应满足1a1，a2.(3)由于函数在1,2上单调，应满足1a1或1a2，a2或a1.专题四 二次函数的区间最值解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想
10、即可解决问题下面通过例题详细分析此类问题的解法1定轴定区间例 6 当2x2 时，求函数 yx22x3 的最大值和最小值.导学号 22840451分析 作出函数图象在所给范围的草图(画出对称轴)，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值解析 作出函数的图象如图，当x1时，ymin4；当x2时，ymax5.点评 本题已知二次函数在自变量x的给定区间m，n上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值2动轴定区间 例 7 求 函 数 f(x)x2 2ax 1 在 0,2 上 的 最值.导学号 2284045
11、2分析 因为对称轴 xa 位置不定，故应分类讨论来确定f(x)在0,2上的最值解 二次函数 f(x)x22ax1 的图象开口向上，对称轴方程为 xa.当 a0 时，f(x)在0,2上是增函数，此时 f(x)的最小值为 f(0)1，最大值为 f(2)44a134a；当 0a1 时，f(x)在0，a上是减函数，在a,2上是增函数，此时 f(x)的最小值为 f(a)a21，最大值为 f(2)34a；当 1a2 时，f(x)在0，a上是减函数，在a,2上是增函数，此时 f(x)的最小值为 f(a)a21，最大值为 f(0)1；当 a2 时，f(x)在0,2上是减函数，此时 f(x)的最小值为 f(2)
12、34a，最大值为 f(0)1.点评 区间定，对称轴不定时，一般解法为：分别把对称轴平移至定区间的左侧、右侧及之间进行讨论，从而确定最值是在端点处取得还是在顶点处取得例 8 已知函数 f(x)x22ax2，求 f(x)在5,5上的最大值与最小值.导学号 22840453分析 由于二次函数的最值与对称轴有关，而本题中函数的对称轴为直线 xa，位置不确定，所以应按对称轴与区间5,5的相对位置进行分类讨论解析 f(x)x22ax2(xa)22a2，x5,5，对称轴为直线 xa.(1)当a5，即 a5 时，函数 f(x)在5,5上单调递增，如图(1)，f(x)maxf(5)522a522710a，f(x
13、)minf(5)(5)22a(5)22710a.当5a0，即 0a5 时，如图(2)f(x)maxf(5)522a522710a，f(x)minf(a)2a2.(3)当 0a5，即5a0 时，如图(3)，f(x)maxf(5)(5)22a(5)22710a，f(x)minf(a)2a2.(4)当a5，即 a5 时，如图(4)，f(x)maxf(5)(5)22a(5)22710a，f(x)minf(5)2710a.综上知，f(x)max2710aa0，2710aa0，f(x)min2710aa5，2a25a5，2710aa5.规律总结(1)函数 f(x)在a，b上单调递增时，f(x)maxf(b
14、)；函数 f(x)在a，b上单调递减时，f(x)maxf(a)；函数 f(x)在a，b上不是单调函数时，找出图象上最高点的纵坐标，即为函数 f(x)的最大值，图象上最低点的纵坐标，即为函数 f(x)的最小值(2)二次函数在给定区间m，n上的最值求解，常见的有以下四种情况：对称轴与区间m，n均是确定的；动轴定区间，即对称轴不确定，区间m，n是确定的；定轴动区间，即对称轴是确定的，区间m，n不确定；动轴动区间，即对称轴不确定，区间m，n也不确定以上四种情况，对于可数形结合，较易解决对于和，应按对称轴在区间的左侧、内部、右侧分三类，结合其图象特征分别求解可让区间不动，按对称轴在区间左侧、内部、右侧进
15、行讨论，有时在区间内部还可分为两种情况：mxmn2和mn2xn 进行讨论3定轴动区间例 9 二次函数 f(x)x22x2，当 xt，t1时，求f(x)的最小值 g(t).导学号 22840454分析 因为对称轴固定，区间不定，此题可从三个方面进行讨论：区间在对称轴左侧；区间在对称轴右侧；对称轴在区间内解析 二次函数 f(x)x22x2 的图象开口向上，对称轴为直线 x1.当 t1 时，f(x)在t，t1上单调递增，则 g(t)f(t)t22t2；当 t1t1，即 0t1 时，则 g(t)f(1)1221；当 t11，即 t0 时，f(x)在t，t1上单调递减，则 g(t)f(t1)t21.综上
16、所述，g(t)t22t2，t1，1，0t1，t21，t0.规律总结 对称轴确定，区间不确定时，可以把区间看成可移动的，分别移至对称轴的不同位置进行讨论专题五 例析抽象函数单调性、奇偶性的解法抽象函数是相对具体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明例 10 奇函数 f(x)的定义域为 R，且在0，)上为增函数，那么是否存在 m 使 f(2t24)f(4m2t)f(0)对任意 t0,1均成立？若存在，
17、求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由.导学号 22840455分析 根据题目条件，化抽象不等式恒成立问题为具体不等式恒成立问题是解决本题的突破口解析 f(x)是奇函数且定义域为 R，f(0)f(0)，即 f(0)0.f(2t24)f(4m2t)0，即 f(2t24)f(2t4m)又f(x)在 R 上单调递增，2t242t4m.令 g(t)2t22t4m4.g(t)ming(12)4m92，故只需 4m920，即 m98.存在 m 满足题意，m 的取值范围为 m98.专题六 思想方法总结1数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问
18、题化难为易、化抽象为具体 例11 已 知 函 数f(x)x2 2|x|1(3x3).导学号 22840456(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数 f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上 f(x)的单调性；(4)求函数 f(x)的值域解析(1)证明：函数定义域3,3关于原点对称，且f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，f(x)为偶函数(2)当 x0 时，f(x)x22x1(x1)22；当 x0 时，f(x)x22x1(x1)22.即 f(x)x122，x0，x122，x0 恒成立求实数 a 的取值范围.导学号 22840458解析 由已知 x1，
19、)，x22xa0 恒成立，即 ax22x，x1，)恒成立令 g(x)x22x，x1，)，则原问题可转化为 a 小于 g(x)在1，)上的最小值问题g(x)(x1)21 的图象的对称轴为 x1，函数 g(x)在1，)上是增函数当 x1 时，g(x)取最小值，g(1)3.a3.实数 a 的取值范围为a|a3规律总结 ag(x)，x1，)恒成立，指的是对1，)内的任意x，该不等式永远成立，因此只要有ag(x)min，就能保证ag(x)，x1，)恒成立如果是ag(x)恒成立，则需ag(x)min.4函数与方程思想函数思想是将所给问题转化为函数的问题，利用函数的性质，研究后得出所需的结论利用函数思想处理
20、问题，首先要熟练掌握常见函数的图象特征，同时要善于观察问题的结构特征，揭示内在联系，从而恰当构造函数并准确地利用函数性质使问题得以解决例 14 当 m 为怎样的实数时，方程 x24|x|5m 有四个互不相等的实数根？导学号 22840459解析 先作出 yx24|x|5 的图象yx24x5，x0，x24x5，x0.作出图象如图所示从图中可以直接看出，当 1mf(1)解析(1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，必过点(2，1)和(4，2)，f(4)f(2)(2)(1)2.(2)偶函数f(x)满足f(3)f(1)，f(3)f(1)点评(1)可由奇函数的性质，
21、先去掉函数记号“f”内的负号，f(4)f(2)f(4)f(2)f(4)f(2)212.6已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为_.导学号 22840466答案 34解析 首先讨论 1a,1a 与 1 的关系，当 a0 时，1a1,1a1，所以 f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a3a2.因为 f(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以 a34.当 a0 时，1a1,1a1，所以 f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为 f(1a)f(1a)，所以 2a3a1，所以 a32(舍去)综上，满足条件的 a34.三、解答题7已知函数 f(x)对任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0 时，f(x)x2，则 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)x1x2，x1x20.又x0 时有 f(x)0，f(x1x2)0，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)由单调性定义知 f(x)在 R 上为单调递减函数(2)f(x)在 R 上是减函数，f(x)在3,3上是递减的，f(x)在 x3 时取最大值，在 x3 时取最小值f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)323 2.f(3)f(3)2.即 f(x)在3,3上最大值为 2，最小值为2.
