1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1函数的应用 第三章 章末整合提升第三章 专 题 突 破 3知 识 网 络 1要 点 归 纳 2即 时 巩 固 4知 识 网 络要 点 归 纳1对于函数yf(x)，xD，使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)，xD的零点2方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点3函数的零点存在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0.(1)函数yf(x)在区间a
2、，b内若不连续，则f(a)f(b)0与函数yf(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在定理仅对连续函数适用)(2)连续函数yf(x)若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点不一 定使f(a)f(b)0 成立，若y f(x)为单调函数，则一定有f(a)f(b)0.4二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验5解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面求解函数应用问题
3、的思路和方法，我们可以用示意图表示为：专 题 突 破专题一 函数的零点与方程根的关系一般结论：函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标所以方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点例 1 实数 a，b，c 是图象连续不断的函数 f(x)定义域中的三个数，且满足 abc，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，则函数 yf(x)在区间(a，c)上零点的个数为 导学号 22841063()A2 B奇数C偶数D至少是 2解析 由f(a)f(b)0，知在区间(a，b)上至少有一个零点，由f(b
4、)f(c)0知在区间(b，c)上至少有一个零点，故在区间(a，c)上至少有两个零点答案 D点评 本题利用零点的存在性定理就可直接判断，但要注意零点存在性定理不能判断零点个数例2 函数f(x)x2(m22)xm在(1,1)上零点的个数为 导学号 22841064()A1B2C0D不能确定解析 f(1)m2m10.函数 f(x)的对称轴为 xm22 11，故函数 f(x)在(1,1)上为增函数，函数 f(x)在(1,1)上有且仅有一个零点答案 A点评 单调函数至多存在一个零点专题二 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布问题，表面上是方程问题，实际上往往是二次函数的图象性质问题和解不等式的综合考
5、查它在应用上的灵活性和广泛性，使其成为考试的热点问题例 3 设集合 A(x，y)|x2mxy20，B(x，y)|y x 1,0 x2，AB ，求 实 数m的 取 值 范围.导学号 22841065分析 本题考查一元二次方程根的分布问题，应用等价转化思想及数形结合的思想，先将AB转化为方程组在x0,2上有解，然后由一元二次方程构造二次函数，利用根的分布求解解析 由条件 AB知，方程 x2mxy20 与方程xy10(0 x2)有公共解由方程组x2mxy20，xy10消去 y 得，x2(m1)x10，(*)故方程(*)在区间0,2上有实数根点评 一元二次方程根的分布问题的处理方法对于一元二次方程实根
6、分布问题，要抓住四点：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负令 f(x)x2(m1)x1，即为函数 f(x)的图象与 x 轴在区间0,2内有交点，结合图象得等价关系式为0，01m22，f20，f00或 f(0)f(2)0，解得 m1.专题三 几种函数模型的应用几类不同增长的函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)；(2)二次函数模型：yax2bxc(a0)；(3)指数函数模型：yabxc(a0，b0，且 b1)；(4)对数函数模型：ymlogaxn(a0，且 a1，m0)；(5)幂函数模型：yaxnb(a0)；(6)分段函数模型：yf1x，xA1，f2x，xA2，fnx，xAn.
7、例 4(对数函数模型)测量地震级别的里氏是地震强度(即地震释放的能量)的常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本 1923 年地震是 8.9 级，旧金山 1996 年地震是 8.3 级，1989 年地震是 7.1 级，试计算日本 1923 年地震强度是8.3级 的 几 倍？是 7.1 级 的 几 倍？(已 知lg2 0.3)导学号 22841066分析 依题意将各次地震的地震强度设出，然后寻找它们之间的关系解析 设日本1923年地震强度是x，旧金山1996年地震强度为y,1989年地震强度为z，则lgx8.9，lgy8.3，lgz7.1，则lgxlgy8.98.30.62lg2lg4
8、，从而lgxlg4lgylg(4y)，x4y.lgxlgz8.97.11.86lg2lg64，从而lgxlgzlg64lg(64z)，x64z.8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍点评 由题设知道是对数函数后利用对数的运算性质即可解决专题四 数学思想方法1数形结合思想数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论精选数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位本章对于数形结合思想的应用主要
9、体现在：一是读图识图，二是由图求解析式例 5 向高为 H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量 V与水深 h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是导学号 22841067()分析 解决这道函数应用题，不可能列出V与h的精确解析式，需要对图形整体把握，取特殊情况加以分析，或通过观察已知图象的特征，取模型函数判断解析 解法 1：很明显，从 V 与 h 的函数图象看，V 从 0开始后，随 h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选 B.解法 2：取特殊值 hH2，可以看出 C，D 图中的水瓶的容量恰好是V2，A 图中的水瓶的容量小于V2，不符合上述分析，排除 A，C，D，应选 B
10、.解法 3：取模型函数为 ykx13(k0)，立即可排除 A，C，D，故选 B.答案 B规律总结 该题是一道综合性较强的题目，意在考查学生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力根据解法 1、解法 2 的分析，亦可画出 A，C，D 三个图形中的水瓶的容量 V 与高度 h 的函数关系曲线的草图分别如下图所示2函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学的基本思想函数思想，是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，利用函数的图象和性质去分析问题和解决问题，使问题获得解决方程思想，就是分析数学问题中的变量间等量关系，从而建立方程或方程组，通过
11、解方程或方程组，使问题获得解决方程的思想和函数的思想密切相关，是相互转化的函数与方程的思想方法，渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用本章函数与方程思想的应用，主要体现在：求方程f(x)0的实数根，就是确定函数yf(x)的零点，就是求函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标；其次，在应用题中利用函数建模，解决实际问题 例 6 方 程 log2(x 4)2x 的 实 数 解 的 个 数 是导学号 22841068()A0B1C2D3解析 要判断方程的实数解的个数，只需判断函数 ylog2(x4)与 y2x的图象的交点个数即可令 f(x)log2(x4)，g(x)2x，在同一坐标系中作出
12、函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示，据图象可知函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点，所以方程 log2(x4)2x有两个实数解答案 C点评 方程f(x)0有实数解函数f(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点相应两函数交点的横坐标3分类整合思想分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行例 7 试讨论函数 f(x)x22|x|1a(aR)的零点的个数.导学号 22841069分析 函数 f(x)的零点的个数即为方程 x22|x|1a0的根的个数
13、解析 令 f(x)0，即 x22|x|1a.令 g(x)x22|x|1，h(x)a，则问题转化为求函数 g(x)与 h(x)图象交点的个数g(x)x22x1，x0，x22x1，x0，作出函数 g(x)的图象，如图所示当 a 在 R 上取值时，函数 h(x)的图象是一系列垂直于 y 轴的直线当a1时，g(x)的图象与直线h(x)的图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点；当2a1时，函数g(x)的图象与直线h(x)的图象有四个交点，即函数f(x)有四个零点；当a1时，函数g(x)的图象与直线h(x)的图象有三个交点，即函数f(x)有三个零点综上所述，当a1时，函数f(x)有两个零点；当2a0，f
14、(2)46550，即 f(1)f(2)4，故至少等分 5 次三、解答题7某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/102kg)与上市时间 t(单位：天)的数据如下表：导学号 22841077时间 t50110250种植成本 Q 150108150(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt.(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本解析(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是
15、常数函数，从而用函数Qatb，Qabt，Qalogbt 中的任意一个进行描述时都应有 a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合所以，选取二次函数 Qat2btc 进行描述以表格所提供的三组数据分别代入 Qat2btc 得到，1502 500a50bc，10812 100a110bc，15062 500a250bc.解得 a 1200，b32，c4252.所以，描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q 1200t232t4252.(2)当 t322 1200150 天时，西红柿种植成本最低为 Q 12001502321504252 100(元/102kg)