1、6匀变速直线运动位移与时间的关系 基础认知自主学习一、匀速直线运动的位移1匀速直线运动的vt图像：与时间轴_的直线。2vt图像与位移：匀速直线运动物体的位移在数值上等于vt图像与时间轴所包围的_。平行面积二、匀变速直线运动的位移1由vt图像求位移：(1)推导。把物体的运动分成几个小段，如图甲，每段位移每段起始时刻速度每段的时间对应矩形面积。所以，整个过程的位移各个小矩形面积_。之和把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的_可以更精确地表示物体在整个过程的位移。把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了一个梯形，_就代表物体在相应时间间隔内的位移。面积之和梯形的面积(2)结论：做匀
2、变速直线运动的物体的位移对应着vt图像中的_所包围的面积。2位移与时间关系式：x。201v tat2图线与对应的时间轴三、位移时间图像1xt图像：以_为横坐标，以_为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像。2常见xt图像的解释符合科学实际的有_。若物体静止，xt图像是一条平行于时间轴的直线。若物体做匀速直线运动，xt图像是一条倾斜的直线。若物体做匀变速直线运动，xt图像是一条倾斜的直线。时间t位移x能力形成合作探究知识点一 匀变速直线运动位移公式的理解与应用1公式 xv0t12 at2：矢量性：xv0t12 at2 为矢量式，其中的 v0、a、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向。一般以 v0
3、 的方向为正方向。2公式 xv0t12 at2 的四种典型情况：运动情况取值若物体做匀加速直线运动a 与 v0 同向，a 取正值(v0 方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a 与 v0 反向，a 取负值(v0 方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反3.公式 xv0t12 at2 的应用：(1)适用范围：匀变速直线运动。(2)用途：公式中包含四个物理量，不涉及末速度，已知其中任意三个物理量时，可求出剩余的一个物理量。情境：v-t 图像能形象直观地描述速度随时间的变化规律。讨论：(1)如何根据 v-t 图像中的“面
4、积”求位移？推导位移公式 xv0t12 at2。提示：如图所示，速度图线和时间轴所包围的梯形面积为 S12(OCAB)OA。与之对应的物体的位移 x12(v0vt)t。由速度公式 vtv0at，代入上式得 xv0t12 at2。(2)利用公式 xv0t12 at2 求出的位移大小等于物体运动的路程吗？提示：不一定，当物体匀减速运动到速度为零再反向以等大的加速度匀加速运动时，位移的大小小于路程。【典例】汽车以 10 m/s 的速度在平直公路上匀速行驶，刹车后经过 2 s 速度变为6 m/s，求：(1)刹车过程中的加速度。(2)刹车后前进 9 m 所用的时间。(3)刹车后 8 s 内前进的距离。【
5、解析】(1)根据匀变速直线运动的速度时间公式 vv0at 得：a6102 m/s22 m/s2。(2)汽车从刹车到停止的时间为：t0va0102 s5 s。根据 xv0t12 at2得：910tt2解得：t1 s 或者 t9 st0，故 t9 s 应舍去，取 t1 s。(3)根据(2)可知汽车经过 5 s 停下，所以刹车后 8 s 内前进的距离即汽车刹车 5 s 内前进的距离，由逆向思维法可得：x12 at212 225 m25 m。答案：(1)2 m/s2(2)1 s(3)25 m1(多选)一物体从静止开始做匀加速直线运动，下面说法中正确的是()A第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s
6、内的运动距离之比一定是 s1s2s3149B前 1 s 内、前 2 s 内、前 3 s 内的运动距离之比一定是 x1x2x3135C第一段时间的末速度等于该段时间中间时刻瞬时速度的 2 倍D运动过程中，任意相邻等时间间隔内位移之差为定值【解析】选 C、D。根据 s12 at2，得第 1 s 内运动的距离 s112 a1212 a，第 2 s内运动的距离，s212 a2212 a1232 a，第 3 s 内运动的距离 s312 a3212 a2252 a，则第 1 s 内、第 2 s 内、第 3 s 内的运动距离之比一定是 s1s2s3135，选项 A 错误；根据 s12 at2，得前 1 s
7、内运动的距离 s112 a1212 a，前 2 s 内运动的距离 s212 a2242 a，前 3 s 内运动的距离 s312 a3292 a，则前 1 s 内、前 2 s内、前 3 s 内的运动距离之比一定是 149，选项 B 错误；第一段时间的初速度为零，末速度为 v，则该段时间中间时刻的速度为t2v 0v2，即 vt22v，即第一段时间的末速度等于该段时间中间时刻瞬时速度的 2 倍，选项 C 正确；设任意相邻等时间间隔为 T，第一个 T 时间内的位移为 xIv0T12 aT2，相邻第二个 T 时间内的位移为 x(v0aT)T12 aT2，所以 xxxIaT2，所以运动过程中，任意相邻等时
8、间间隔内位移之差为定值，选项 D 正确。2以 36 km/h 的速度行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动，若汽车在刹车后第 2 s内的位移是 6.25 m，求：(1)汽车刹车过程中加速度的大小。(2)刹车后 5 s 内的位移。【解析】(1)汽车的初速度为：v036 km/h10 m/s。汽车在第 2 s 内的平均速度为 v x2t2 6.251 m/s6.25 m/s所以汽车在第 1.5 s 末的速度为：v1.5 v 6.25 m/s加速度大小为 av0v1.5t1.5106.251.5 m/s22.5 m/s2。(2)汽车从刹车到停下来的时间为 t0v0a 102.5 s4 s所以刹车后 5
9、s 内的位移等于刹车后 4 s 内的位移，为 xv02 t0102 4 m20 m。答案：(1)2.5 m/s2(2)20 m【加固训练】1火车长 100 m，从车头距离桥头 200 m 处由静止开始以 1 m/s2 的加速度做匀加速直线运动，桥长 150 m。求火车过桥所用的时间。【解析】根据题意，车头到达桥头时：x1200 m，车尾通过桥尾时 x2200 m100 m150 m450 m，v00，a1 m/s2由位移公式：xv0t12 at2代入数据得：200 m12 1 m/s2t21450 m12 1 m/s2t22所以 t230 s，t120 s火车过桥的时间 t2t110 s答案：
10、10 s2骑自行车的人以 5 m/s 的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所示)，加速度的大小为0.4 m/s2，斜坡长 30 m，骑自行车的人通过斜坡需要多少时间？【解析】由位移公式 xv0t12 at2，代入数据得：305t12 0.4t2，解得：t110 s，t215 s。t215 s 时，由 vv0at 可得 v1 m/s，所以 t215 s 舍去。答案：10 s知识点二 位移时间图像x-t 图像的应用位移大小初、末位置的纵坐标差的绝对值方向末位置与初位置的纵坐标差的正负值,正值表示位移沿正方向,负值表示位移沿负方向速度大小斜率的绝对值方向斜率的正负值,斜率为正值,表示物体向正方向运动;斜
11、率为负值,表示物体向负方向运动运动开始位置图线起点纵坐标运动开始时刻图线起点横坐标两图线交点的含义表示两物体在同一位置(相遇)情境：如图所示的 x-t 图像反映了位移随时间的变化规律。讨论：x-t 图像能否表示物体运动的快慢和方向？提示：能。x-t 图线的斜率大小表示物体运动速度的大小，斜率的正、负可以表示物体运动速度的方向，斜率为正值，表明物体沿正方向运动；斜率为负值，表明物体沿负方向运动。【典例】如图是 A、B 两个质点做直线运动的位移时间图像。则()A在运动过程中，A 质点总比 B 质点运动得快B在 0t1 这段时间内，两质点的位移相同C当 tt1 时，两质点的速度相等D当 tt1 时，
12、A、B 两质点的加速度不相等【解析】选 A。位移时间图像中，图线的斜率对应物体的速度，所以 A 质点的速度比 B 质点的速度大，A 正确；位移时间图像中，位移等于初、末时刻对应的纵坐标的坐标差，所以在 0t1 这段时间内，A 质点的位移大于 B 质点的位移，B 错误；t1 时刻，两图像的斜率不同，两质点的速度不同，C 错误；两物体都做匀速直线运动，加速度都等于零，D 错误。v-t 和 x-t 图像的应用技巧(1)确认是哪种图像，v-t 图像还是 x-t 图像。(2)理解并熟记五个对应关系。斜率与加速度或速度对应。纵截距与初速度或初始位置对应。横截距对应速度或位移为零的时刻。交点对应速度或位置相
13、同。拐点对应运动状态发生改变。1如图所示，a、b 分别为甲、乙两物体在同一直线上运动时的位移与时间的关系图像，其中 a 为过原点的倾斜直线，b 为开口向下的抛物线。下列说法正确的是()A物体甲做直线运动，物体乙始终沿正方向做曲线运动Bt1 时刻甲、乙两物体的位移相等、速度相等Ct1 到 t2 时间内两物体的平均速度相同D0t2 时间内两物体间距一直减小【解析】选 C。根据位移时间图线的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，得知物体甲做匀速直线运动；物体乙先沿正方向，后沿负方向做直线运动，故 A 错误。t1 时刻甲、乙两物体的位移相同，处于同一位置，但图像的斜率不同，故速度不同，故 B 错误。t
14、1 到 t2 时间内两物体的位移相同，所用时间相同，则平均速度相同，故 C正确。0t2 时间内两物体间距先增加后减小，再增加，再减小，选项 D 错误。故选C。2(多选)A、B、C、D 四个物体在同一条直线上做直线运动，A 物体的 x-t、B 物体的 v-t、C 物体和 D 物体的 a-t 图像依次如图所示，规定水平向右为正方向，已知物体在 t0 时的速度均为零，且此时 C 物体在 D 物体的左边 1.75 m 处，则()A其中 04 s 内物体运动位移最大的是 B 物体B其中 04 s 内物体运动位移最大的是 C 物体Ct2.5 s 时 C 物体追上 D 物体Dt3.5 s 时 C 物体追上
15、D 物体【解析】选 B、D。由 A 图的位移时间图像可知，4 s 末到达初始位置，总位移为零；由 B 图的速度时间图像可知，速度在 2 s 内沿正方向，24 s 沿负方向，方向改变，4 s 内总位移为零；由 C 图像可知：物体在第 1 s 内做匀加速运动，第 2 s 内做匀减速运动，2 s 末速度减为 0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，位移一直增大；由 D 图像可知：物体在第 1 s 内做匀加速运动，第 23 s 内做匀减速运动，2 s 末速度减为 0，第 3 s 内沿负方向运动，不是单向直线运动。则其中 04 s 内物体运动位移最大的是 C 物体，选项 A 错误，B 正确；根据前面的分
16、析，画出 C、D 两个物体的速度时间图像如图：v-t 图像图线与时间轴围成的面积表示位移，由图可知在前 2 s 内两个物体的位移大小相等，所以前 2 s 内两个物体不可能相遇；第 3 s 内二者的位移大小是相等的，都是：xvm2 t12 1 m0.5 m，此时二者之间的距离：LL0(x)x1.75 m0.5 m0.5 m0.75 m，3 s 末二者之间的距离是 0.75 m，此时二者的速度大小相等，方向相反，所以相遇的时间大于 3 s。设再经过 t 时间二者相遇，则：L2(vmt12 at2)，代入数据可得：t0.5 s 或 1.5 s(舍去)，所以相遇的时刻在 t3.5 s。故 C错误，D
17、正确，故选 B、D。【加固训练】1(多选)下列给出的四组图像中，能够反映同一直线运动的是()【解析】选 B、C。A、B 选项中的左图表明 03 s 内物体匀速运动，位移正比于时间，加速度为零，35 s 内物体匀加速运动，加速度大小 avt 2 m/s2，A 错，B对；C、D 选项中左图 03 s 位移不变，表示物体静止(速度为零，加速度为零)，35 s 内位移与时间成正比，表示物体匀速，vxt 2 m/s，a0，C 对、D 错。2(多选)a、b 两个质点相对于同一质点在同一直线上运动的 x-t 图像如图所示。关于a、b 的运动，下面说法正确的是()Aa、b 两个质点运动的出发点相距 5 mB质
18、点 a 比质点 b 迟 1 s 开始运动C在 03 s 时间内 a、b 的位移大小相等，方向相反D12 s 内，质点 a 运动的速率比质点 b 运动的速率大【解析】选 A、C。由题图可以看出：被选作参考系的质点位于坐标轴上的原点，质点 a 从坐标轴上5 m 处向原点运动，经 2 s 到达坐标系原点，速率 va2.5 m/s。在t1 s 时，质点 b 从坐标系原点出发，沿坐标轴的正方向运动，1 s 内的位移为 5 m，速率 vb5 m/s；03 s 内，它们的位移大小相等，均为 5 m，而方向相反。知识点三 匀变速直线运动的两个重要推论1推论 1：(1)表达式：做匀变速直线运动的物体，在一段时间
19、 t 内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度和的一半，即 v t2v v0v2。(2)推导：设物体的初速度为 v0，做匀变速直线运动的加速度为 a，t 秒末的速度为 v。由 xv0t12 at2 得，平均速度 v xt v012 at由速度公式 vv0at 知，当 tt2 时，t2v v0at2 由得 v t2v 又 vt2v at2 联立以上各式解得t2v v0v2，所以 v t2v v0v2。2推论 2：(1)表达式：在任意两个连续相等的时间间隔 T 内，位移之差是一个常量，即 xxxaT 2(2)推导：时间 T 内的位移 x1v0T12 aT2在时间 2T
20、 内的位移 x2v02T12 a(2T)2则 xx1，xx2x1由得 xxxaT2(3)应用。判断物体是否做匀变速直线运动。求加速度。情境：如图为一段记录小车做匀变速运动的纸带，打点计时器的打点周期为 T，A、B、C 为相邻的三个计时点，其中 ABs1，BCs2。讨论：(1)小车在 B 点的速度为多少？提示：vBs1s22T。(2)小车运动的加速度大小是多少？提示：as2s1T2。【典例】(一题多解)一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度、末速度及加速度大小。【解析】解法一：基本公式法如图所示，由位
21、移公式得 x1vAT12 aT2，x2vA2T12 a(2T)2vAT12aT2，vCvAa2T，将 x124 m，x264 m，T4 s 代入以上三式，解得 a2.5 m/s2，vA1 m/s，vC21 m/s。解法二：平均速度法连续两段相等时间 T 内的平均速度分别为v1x1T 244 m/s6 m/s，v2x2T 644 m/s16 m/s且 v1vAvB2，v2vBvC2，由于 B 是 A、C 的中间时刻，则 vBvAvC2v 1 v 226162 m/s11 m/s解得 vA1 m/s，vC21 m/s，加速度为 avCvA2T21124 m/s22.5 m/s2。解法三：逐差法由
22、xaT2 可得 axT2 642416 m/s22.5 m/s2，又 x1vAT12 aT2，vCvAa2T，联立解得 vA1 m/s，vC21 m/s。答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解。(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度。(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度。平均速度整个过程不变。(4)图像法，通过画 v-t 图像求解。1一物体自距地面高为 H 的位置处自由下落，当它的速度达到着地速度一半时，它的下落高度为()AH8 BH4 CH2 D3H4【解析】选 B。设物
23、体落地时的速度大小为 v。由 v2v20 2gx 得下落 H 的过程中有：v202gH，下落速度为着地速度一半时的过程中有：v2202gh，联立可得：hH4。故 B 正确，A、C、D 错误。2物体以某一速度冲上一光滑斜面(足够长)，先做匀减速直线运动，后沿斜面滑下做匀加速直线运动，全过程加速度不变。已知前 4 s 内位移是 1.6 m，随后 4 s 内位移是零，则下列说法中正确的是()A物体的初速度大小为 0.8 m/sB物体的加速度大小为 0.2 m/s2C物体向上运动的最大距离为 1.8 mD物体回到斜面底端，总共用时 10 s【解析】选 C。设沿斜面向上为正方向，由 xaT2，得物体上滑
24、的加速度为：axT201.642 m/s20.1 m/s2。根据匀变速直线运动的位移时间关系，知物体前 4 s内的位移 xv0t12 at2，得物体的初速度为：v00.6 m/s，故 A、B 错误；物体向上运动的最大距离为：xm0v202a1.8 m，故 C 正确；据 xv0t12 at2 得，当 x0时物体回到出发点，总共用时为：t12 s，故 D 错误。【加固训练】(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第 4 s 内与第 2 s 内的位移之差是 4 m，则可知()A第 1 s 内的位移为 2 mB第 2 s 末的速度为 4 m/sC物体运动的加速度为 1 m/s2D物体在第 5 s
25、内的平均速度为 9 m/s【解析】选 B、D。设物体的加速度为 a，第 4 s 内位移 x412 a4212 a3272 a，第 2 s 内位移 x212 a2212 a1232 a，由题意可得 4x4x22a，所以 a2 m/s2，C 错误；第 1 s 内的位移 x112 212 m1 m，A 错误；第 2 s 末的速度 v222 m/s4 m/s，B 正确；第 5 s 内的位移 x512 252 m12 242 m9 m，所以平均速度为 9 m/s，D 正确。【拓展例题】考查内容：刹车问题的应用【典例】一辆汽车刹车前的速度为 126 km/h，刹车获得的加速度大小为 10 m/s2，则：(
26、1)汽车刹车开始后 5 s 内滑行的距离为多少米？(2)从开始刹车到汽车运动 41.25 m 所经历的时间？【解析】v0126 km/h35 m/s(1)从开始刹车到停止的时间为 tvv0a03510 s3.5 s，由于 t15 s3.5 s，所以此时汽车已经停止，5 s 内的位移即为 3.5 s 内的位移，xv002t35023.5 m61.25 m(2)由位移公式 xv0t12 at2 代入数据得 41.2535t12 10t2，解得 t1.5 s(t5.5 s，不符合题意，舍去)答案：(1)61.25 m(2)1.5 s学情诊断课堂测评1某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为 x0
27、.5tt2(m)，则当物体的速度为 3 m/s 时，物体已运动的时间为()A3 s B2.5 s C1.25 s D6 s【解析】选 C。根据 xv0t12 at20.5tt2(m)知，初速度 v00.5 m/s，加速度 a2 m/s2。根据速度时间公式 vv0at 得，tvv0a1.25 s。故 C 正确。【加固训练】一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间 t 内通过的位移为 x，则它从出发开始经过x4 的位移所用的时间为()At4 Bt2 C t16 D 22t【解析】选 B。由位移公式得 x12 at2，x4 12 at2，所以t2t2 4，故 tt2，B 正确。2甲、乙两物体朝同一方
28、向做匀速直线运动，已知甲的速度大于乙的速度，t0 时，乙物体在甲物体前一定距离处，则两个物体运动的 x-t 图像应是()【解析】选 C。位移时间图像中图线的斜率的绝对值表示速度大小，由于甲的速度较大，所以甲的斜率较大，B、D 错；纵坐标表示位置，乙在甲的前面，可知 A错。3如图是某监测系统每隔 2.5 s 拍摄的关于卫星发射起始加速阶段火箭的一组照片，已知火箭的长度为 40 m。现在用刻度尺测量照片上的位置关系，结果如图所示，请你估算火箭的加速度大小 a。【解析】由火箭长度为 40 m 可知，刻度尺上的 1 cm 相当于实际长度 20 m。量出前后两段位移分别为 4.00 cm 和 6.50
29、cm，对应的实际位移分别为 80 m 和 130 m，由 xaT2 可得 130 m80 ma(2.5 s)2 即 a8 m/s2答案：8 m/s24现有甲、乙两辆汽车同时从汽车站由静止驶出，甲车先做匀加速直线运动，10 s后速度达到 20 m/s，之后开始做匀速直线运动，乙车出发后一直做匀加速直线运动，发现自己和甲车之间的距离在发车 30 s 后才开始变小。求：(1)甲、乙车的加速度分别为多大。(2)甲、乙两车在相遇之前的最大距离是多少。(3)甲、乙两车经多长时间相遇。【解析】(1)乙车和甲车之间的距离在发车 30 s 后才开始变小，知乙车在 30 s 时速度才达到 20 m/s。则甲车的加
30、速度为：a1vt1 2010 m/s22 m/s2乙车的加速度为：a2vt2 2030 m/s223 m/s2(2)两车速度相等时，相距最远，即经过 30 s 的时间。此时甲车的位移为：x甲v2 t1v(30t1)(202 102020)m500 m乙车的位移为：x乙v2 t2202 30 m300 m则甲、乙两车的最大距离是：xx甲x乙 500 m300 m200 m。(3)设甲、乙两车经过 t 时间相遇，根据 x 甲 x 甲x 乙则有：v2 t1v(tt1)12 a2t2代入数据得：202 1020(t10)12 23 t2解得：t(3010 6)s答案：(1)2 m/s2 23 m/s2(2)200 m(3)(3010 6)s