1、广东省惠州市第一中学（惠州市）2015届高三第二次调研考试数学（文）试题（解析版）【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.【题文】1.设集合，集合，则 ( )A B C D【知识点】集合及其
2、运算。A1 【答案解析】A 解析：方程解得，则，故选A.【思路点拨】先解出集合B，再求交集。【题文】2.复数 (为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知识点】复数的乘法运算；复数的几何意义。L4 【答案解析】B 解析：复数z在复平面上对应的点的坐标为，位于第二象限故选B.【思路点拨】先利用复数的乘法运算求出Z，再判断即可。【题文】3.已知命题，则为 ( )A B C D【知识点】全称命题、特称命题.A2 【答案解析】B 解析：根据全称命题的否定是特称命题，故选B。【思路点拨】将全称命题改为特称命题即可。【题文】4.已知向量，则 ( )A. B
3、. C. D. 【知识点】平面向量的坐标运算.F2 【答案解析】C 解析：，则,故选C.【思路点拨】先求出向量的坐标，再计算即可。【题文】5.下列函数中，在区间上为增函数的是( )A B C D【知识点】函数的单调性；利用导数研究函数的单调性。B3 B12 【答案解析】D 解析：在为增函数，故A错误；在上是减函数，在为增函数，故B错误；是R上的减函数；，所以在区间上为增函数. 故选D.【思路点拨】利用函数的单调性依次判断即可。【题文】6.若变量满足约束条件，则的最小值为( )A B C D【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】C 解析：由约束条件画出可行域如图所示，则根据目标函数画出直线
4、，由图形可知将直线平移至点取得的最小值，解方程组，得，即代入可得.故选C【思路点拨】先由线性约束条件画出可行域，再由线性目标函数求得最值。【题文】7.已知函数的部分图象如图所示,则函数的表达式是( )A. B. C. D. 【知识点】的图像和性质。C4 【答案解析】A 解析：从图可知，且，得，故，将点 的坐标代入函数，且得所以函数的表达式为.故选A.【思路点拨】先由图形得到振幅A，然后结合半周期求出周期，故而得到，将点 的坐标代入函数，得，所以函数的表达式为。【题文】8.方程有实根的概率为 （ ）A B C D【知识点】几何概型.K3 【答案解析】C 解析：方程有实数根时，得，由几何概型知.故
5、选C.【思路点拨】先通过方程有实数根得，即可求得概率。【题文】9.圆心在，半径为的圆在轴上截得的弦长等于 ( )A B C D【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案解析】D 解析：圆心到轴的距离为，圆半径，由勾股定理知半弦长为，则弦长为.故选D.【思路点拨】在由圆的半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形中利用勾股定理即可。【题文】10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为 ( )AB C D【知识点】函数的解析式。B1 【答案解析】B
6、 解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数 (表示不大于的最大整数）可以表示为故选B.【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数 (表示不大于的最大整数）”直接可得结果。二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分20分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答【题文】11.抛物线的准线方程是 .【知识点】抛物线的准线方程.H7 【答案解析】 解析：化为抛物线的标准方程，则，得，且焦点在轴上
7、，所以，即准线方程为.故答案为。【思路点拨】先把抛物线标准方程，再求出，即得准线方程。【题文】12.在等比数列中，则 _.【知识点】等比数列的性质.D3 【答案解析】 解析：由等比数列的性质知，故.故答案为16.【思路点拨】由等比数列的性质可知结果。【题文】13.在中，则_.【知识点】正弦定理.C8 【答案解析】 解析：因为，所以，而，所以，所以.故答案为。【思路点拨】直接使用正弦定理即可求得结果。（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。ABCDEO【题文】14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，
8、以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线和曲线的公共点有_ 个.【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程.N3 【答案解析】 解析：直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个. 故答案为1.【思路点拨】把参数方程极坐标方程分别化成普通方程，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离与半径的关系即可得出。【题文】15.（几何证明选做题）如图，在半径为3的圆中，直径与弦垂直，垂足为（在、之间）. 若，则_.【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【答案解析】 解析：因为，且，所以，所以. 或者由相交弦定理，即，且，得.故
9、答案为1.【思路点拨】先求出OE,然后直接利用相交弦定理求出AE即可。三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤【题文】16.（本小题满分12分）设向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，求的最大值【知识点】三角函数的性质；平面向量的模。C3 F3 【答案解析】（1）；（2） 解析：(1)由， . （1分） ， .（2分） 及，得. 又，从而， .（4分） 所以 .（6分） （2） ， .（9分） 当时， 所以当时，取得最大值1 .（11分） 所以的最大值为. .（12分）【思路点拨】（1）借助于，得，再解可得结果；（2）先化简整理得到函数，再求最大值即可。【
10、题文】17.（本小题满分12分）入网人数套餐套餐套餐套餐种类12350 100150移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率. (1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图.I2K1 【答案解析】(1) ；
11、(2) 解析：（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”， 1分则. 4分（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， 5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人， 6分分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，共15个. 9分其中使得事件成立的为，共4个 10分则. 12分【思路点拨】(1) 利用古典概型公式，即可得到结论； (2)由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，列举基本事件，即可求这两人获得相等优惠金额的概率. 【题文】18.（
12、本小题满分14分）如图，菱形的边长为，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.ABABCCDMODO（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【知识点】线面平行的判定定理；棱柱、棱锥、棱台的体积.G4G7 【答案解析】(1)见解析； (2) 解析：（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 2分 因为平面,平面，4分所以平面. 6分（）三棱锥的体积等于三棱锥的体积. 7分由题意，,因为,所以，. 8分又因为菱形，所以. 9分因为,所以平面，即平面 10分所以为三棱锥的高. 11分的面积为，13分所求体积等于. 14分【思路点拨】(1) 由题意
13、可得，再利用线面垂直的性质可得平面. (2)先利用已知条件证明出平面，则为三棱锥的高，再利用体积公式计算即可。 【题文】19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足， (且)（1）求证：数列是等差数列；（2）求和.【知识点】等差数列的判定；数列的通项；数列的求和.D2D4 【答案解析】(1) 见解析； (2) ， 解析：（）证明：当时， 2分 由上式知若，则，由递推关系知，由式可得：当时， 4分是等差数列，其中首项为，公差为. 6分(2)， . 8分当时， 10分当时，不适合上式， 12分 14分【思路点拨】(1) 由题意利用递推关系即可证明； (2)由（1）可知其通项公式以及前n项和
14、。【题文】20.（本小题满分14分）已知椭圆过点，点是椭圆的左焦点，点、是椭圆上的两个动点，且、成等差数列（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：线段的垂直平分线经过一个定点.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8 【答案解析】(1) ； (2)见解析 解析：(1)设椭圆C的方程为， 1分由已知，得 2分解得 3分椭圆的标准方程为. 4分(2)证明：设，由椭圆的标准方程为，可知， 5分同理， 6分， 7分，. 8分()当时，由得，.设线段的中点为，由，得线段的中垂线方程为， 11分，该直线恒过一定点. 12分()当时，或，线段的中垂线是x轴，也过点.综上，线段的中垂线过定点. 14分（2）问【解
15、法二】（）若斜率存在时：设直线为联立，消得：5分设点，则：6分由于且所以，又因为，其中，故可得，从而 8分由（3）式及得所以直线的中垂线为10分化简得 11分故：直线的中垂线过定点 12分（）若斜率不存在时：同解法一。 14分【思路点拨】(1) 设出椭圆方程，再由已知列出关于a,b的方程组，解之即得椭圆的标准方程； (2)先设，得出，然后做出判断即可。【题文】21.（本小题满分14分）设函数，且. 曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围.【知识点】利用导数研究曲线上某点的切线方程；利用导数研究函数的单调性。B12 【答案解析】(1) (2) 解析：（）， 2分由曲线在点处的切线的斜率为，得，3分即，. 4分（）由，得. 5分令，得，. 且 7分 当时，在上，为增函数，令，即，解得. 9分 当时，减极小值增不合题意，无解. 11分 当时，在上，为减函数，恒成立，则符合题意. 13分 综上，的取值范围是. 14分【思路点拨】(1) 先求导，则k= ，即可求得切线方程；(2)求导后列表找到极值点，然后对a分类讨论即可。