1、第7讲立体几何中的向量方法()证明平行与垂直分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2 Bl1l2Cl1与l2相交但不垂直 D以上均不正确答案B2若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 ()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an1，只有D选项中an330.答案D3平面经过三点A(1,0,1)，
2、B(1,1,2)，C(2，1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是()A. B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析设平面的法向量为n，则n，n，n，所有与(或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.答案D4(2022全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B. C. D1解析连接AC，交BD于点O，连接EO，过点O作OHAC1于点H，因为AB2，所以AC2，又CC12，所以OHsin 451.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5若向量a(1，2)，b(2，1,2)且
3、a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，83(6)，解得2或.答案2或6在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PH a.点P到平面ABC的距离为a.答案a三、解答题(共25分)7(12分)如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面
4、边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明连接BD，设AC交BD于O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)解棱SC上存在一点E使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.8(13分)如图所示，已知正
5、方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE.则N，E(0,0,1)，A(，0)，M.且NE与AM不共线NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.分层B级创新能力提升1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，
6、即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案B2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则CE与DF的和的值为_解析以D1A1、D1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直
7、角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需(1,1，y)(x1，0,1)0xy1.答案14(2022淮南模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的有_个解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1
8、,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.答案25在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；
9、由(0，a，a)2a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点6.(2022湖南卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中点(1)证明：CD平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥PABCD的体积解如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设PAh，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)证明易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因为8800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD平面PAE.(2)由题设和(1)知，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形ABCD的面积为S(53)416，所以四棱锥PABCD的体积为VSPA16.
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