1、2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷二一、单项选择题1.已知集合A=a,a2,0,B=1,2,若AB=1,则实数a的值为()A.-1B.0 C.1 D.12.已知(a+2i)i=b-2i,其中a,b为实数,i是虚数单位,则复数a+bi=()A.2+2i B.2-2i C.-2+2iD.-2-2i3.标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况,而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052,下列数据最接近336110 0
2、0052的是(lg 30.477)()A.10-37B.10-36C.10-35D.10-344.商高是我国西周时期的数学家,他发现勾股定理的一个特例:勾3,股4,弦5,此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.如图,现有ABC满足“勾3股4弦5”,其中AC=3,BC=4,点D是CB延长线上的一点,则ACAD=()A.3 B.4 C.9 D.不能确定5.定义在R上的函数y=f(x)在(-,1上单调递减,且f(x+1)是偶函数,则使f(2x-1)f(3)成立的x的取值范围是()A.(1,+)B.(-,0)(2,+) C.(0,1) D.(-,0)6.下表是鞋子的长度与对应的码数的情况.长度(cm)2
3、525.52626.52727.5码数404142434445已知人的身高y(cm)与脚长x(cm)呈线性相关关系,且回归直线方程为y=7x-7.6.若某人的身高为180 cm,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为()A.42B.43C.44D.457.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的实轴长为()A.2 B.2 C.22 D.48.如图,已知ABC是边长为2的等边三角形,M为AC的中点.将ABM沿BM折起到PBM的位置,当三棱锥P-BCM的体积最大时,三棱锥P-BCM外接球的表面积为()A. B.3 C.5 D.7二、多项选择题9.为了
4、解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,测量了他们的体重(单位:千克).健身之前他们的体重情况如图(1)所示,经过半年的健身后,他们的体重情况如图(2)所示,对比健身前后,关于这20名肥胖者,下列结论正确的是()A.经过健身后,体重在区间90,100)内的人数不变B.经过健身后,体重在区间100,110)内的人数减少了2C.经过健身后,体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减轻D.经过健身后,这20名肥胖者的体重的中位数位于区间90,100)内10.已知动点P在双曲线C:x2-y23=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2,下列结论正确的是()A.C的离心率为2B.C的渐近
5、线方程为y=33xC.动点P到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点P在双曲线C的左支上时,|PF1|PF2|2的最大值为1411.已知函数f(x)=sin(3x+)-22的图象关于直线x=4对称,则()A.函数fx+12为奇函数B.函数f(x)在12,3上单调递增C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为3D.函数f(x)的图象向右平移4个单位长度得到函数y=-cos 3x的图象12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0x1)的液体,旋转容器,下列说法正确的是()A.当x=12时,容器被液面分割而成的两个几何体完全相同B.对于任意的x(0,1),液面都可以成正三角
6、形形状C.当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面面积的最大值为334D.当液面恰好经过正方体的某条体对角线时,液面边界周长的最小值为25三、填空题13.金、木、水、火、土之间相生相克的关系如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为.14.已知角的终边过点P(-4,3),则sin +cos 的值是.15.过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线y2=4x交于A,B两点,则直线AB的斜率为.16.已知集合A0=x|0x1.给定一个函数y=f(x),定义集合An=y|y=f(x),xAn-1,若AnAn-1=对任意的nN*成立,则称该函数y=f(
7、x)具有性质“”.(1)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是;(2)给出下列函数:y=1x;y=x2+1;y=cos2x+2,其中具有性质“”的函数是.(写出所有正确答案的序号)17.在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-233bcsin A+c2=a2.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=3,求a和sin(2B-A)的值.18.在3Sn+1=Sn+1,a2=19,2Sn=1-3an+1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答.已知数列an的前n项和为Sn,满足,正项等差数列bn满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列.(1)求an和bn的通项
8、公式;(2)证明:ab1+ab2+abn0,b0)经过点A1,32,且离心率为12,过其右焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点,交y轴于点E.若EM=1MF,EN=2NF.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试判断1+2是不是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.21.已知函数f(x)=aexln x(其中e=2.718 28是自然对数的底数),g(x)=x2+xln a,a0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)0对任意的x(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.22.(2020河南实验中学高三测验)某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是不
9、是阳性,现有n(nN*)份血液样本,有以下两种检验方式:方式一:逐份检验,则需要检验n次.方式二:混合检验,将其中m(mN*且m2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这m份血液样本全为阴性,因而这m份血液样本只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这m份血液样本究竟哪几份为阳性,就要对这m份血液样本再逐份检验,此时这m份血液样本的检验次数总共为m+1.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0pf(3)成立的x的取值范围是()A.(1,+)B.(-,0)(2,+)C.(0,1)D.(-,0)答案B因为定义在
10、R上的函数y=f(x)在(-,1上单调递减,且f(x+1)是偶函数,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,示意图如图所示:则f(3)=f(-1),且y=f(x)在1,+)单调递增,若f(2x-1)f(3),则需满足2x-13,解得x2,故使f(2x-1)f(3)成立的x的取值范围为(-,0)(2,+).6.(2020湖南湘潭模拟)下表是鞋子的长度与对应的码数的情况.长度(cm)2525.52626.52727.5码数404142434445已知人的身高y(cm)与脚长x(cm)呈线性相关关系,且回归直线方程为y=7x-7.6.若某人的身高为180 cm,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为
11、()A.42B.43C.44D.45答案C由题意得7x-7.6=180,解得x=26.8,即脚长26.8 cm,查表得26.8(26.5,27),故其穿的鞋子的码数应为44.7.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的实轴长为()A.2B.2C.22D.4答案C由双曲线的性质可得b=2,因为ca=3,所以c=3a,根据a2+b2=c2得a2+4=3a2,解得a=2,所以实轴长为2a=22.故选C.8.如图,已知ABC是边长为2的等边三角形,M为AC的中点.将ABM沿BM折起到PBM的位置,当三棱锥P-BCM的体积最大时,三棱锥P-BCM外接
12、球的表面积为()A.B.3C.5D.7答案C当三棱锥P-BCM的体积最大时,P点到平面BCM的距离最大,此时PMMC,PMBM,BMMC,则三棱锥P-BCM的外接球与以MP,MB,MC为邻边的长方体的外接球是同一个球.设其半径为R,因为M为AC的中点,所以MP=MC=1,MB=3,所以(2R)2=MP2+MC2+MB2=1+1+3=5,所以三棱锥P-BCM外接球的表面积为4R2=5.故选C.二、多项选择题9.为了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,测量了他们的体重(单位:千克).健身之前他们的体重情况如图(1)所示,经过半年的健身后,他们的体重情况如图(2)所示,对比健身前后,关
13、于这20名肥胖者,下列结论正确的是()A.经过健身后,体重在区间90,100)内的人数不变B.经过健身后,体重在区间100,110)内的人数减少了2C.经过健身后,体重在区间110,120)内的肥胖者体重都有减轻D.经过健身后,这20名肥胖者的体重的中位数位于区间90,100)内答案ACD题图(1)中体重在区间90,100),100,110),110,120)内的人数分别为8,10,2;题图(2)中体重在区间80,90),90,100),100,110)内的人数分别为6,8,6.故选ACD.10.已知动点P在双曲线C:x2-y23=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2,下列结论正确的是(
14、)A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为y=33xC.动点P到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点P在双曲线C的左支上时,|PF1|PF2|2的最大值为14答案AC由双曲线C的方程可知,a=1,b=3,c=2,所以双曲线C的离心率e=ca=2,渐近线方程为y=3x,A选项中的结论正确,B选项中的结论错误;设点P的坐标为(x0,y0),则x02-y023=1,双曲线C的两条渐近线方程分别为x-33y=0和x+33y=0,则点P到两条渐近线的距离之积为x0-33y01+-332x0+33y01+332=x02-y02343=34,C选项中的结论正确;当动点P在双曲线C的左支上时,|PF1|c-a=
15、1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2,所以|PF1|PF2|2=|PF1|(|PF1|+2)2=|PF1|PF1|2+4+4|PF1|=1|PF1|+4|PF1|+412|PF1|4|PF1|+4=18,当且仅当|PF1|=2时,等号成立,所以|PF1|PF2|2的最大值为18,D选项中的结论错误.故选AC.11.已知函数f(x)=sin(3x+)-22的图象关于直线x=4对称,则()A.函数fx+12为奇函数B.函数f(x)在12,3上单调递增C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为3D.函数f(x)的图象向右平移4个单位长度得到函数y=-cos 3x的图
16、象答案AC因为直线x=4是f(x)=sin(3x+)-22的图象的一条对称轴,所以34+=2+k(kZ),则=-4+k(kZ),因为-22,所以=-4,则f(x)=sin3x-4.对于选项A, fx+12=sin3x+12-4=sin 3x,因为sin(-3x)=-sin 3x,所以fx+12为奇函数,故A正确;对于选项B,-2+2k3x-42+2k(kZ),即-12+2k3x4+2k3(kZ),当k=0时,-12x4,即f(x)在-12,4上单调递增,故B错误;对于选项C,若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|最小为半个周期,即2312=3,故C正确;对于选项D,函数f(x)的图
17、象向右平移4个单位长度,得到y=sin3x-4-4=sin(3x-)=-sin 3x的图象,故D错误.故选AC.12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0x1)的液体,旋转容器,下列说法正确的是()A.当x=12时,容器被液面分割而成的两个几何体完全相同B.对于任意的x(0,1),液面都可以成正三角形形状C.当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面面积的最大值为334D.当液面恰好经过正方体的某条体对角线时,液面边界周长的最小值为25答案ACD当x=12时,液面过正方体中心且将正方体分成两部分,根据对称性知两部分完全相同,故A中说法正确;取x=12,此时液面过正方体的中心,不可能为正三
18、角形形状,故B中说法错误;当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面为如图所示的正六边形EFGHMN时面积最大,其中正六边形EFGHMN的顶点均为对应棱的中点,则S=122222326=334,故C中说法正确;如图所示,当液面恰好经过DB1时,截面为四边形B1NDG,将平面A1B1C1D1绕C1D1所在直线旋转2得到平面A1B1C1D1,则DN+B1N=DN+B1NDB1=1+4=5,当D、N、B1三点共线时等号成立,故液面边界周长的最小值为25,故D中说法正确.故选ACD.三、填空题13.金、木、水、火、土之间相生相克的关系如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克
19、关系的概率为.答案12解析由题意得,任取两种物质的基本事件总数n=C52=10,取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件有:水克火,火克金,金克木,木克土,土克水,共5个,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率P=510=12.14.已知角的终边过点P(-4,3),则sin +cos 的值是.答案-15解析由题意可得,x=-4,y=3,r=|OP|=5,sin =yr=35,cos =xr=-45,sin +cos =-15.15.过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线y2=4x交于A,B两点,则直线AB的斜率为.答案-1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知设直线PA
20、:m(y1-2)=x1-1,即x1=my1-2m+1,代入抛物线方程得y12=4my1-8m+4,即y12-4my1+8m-4=0,则y1+2=4m,故y1=4m-2.设直线PB:-m(y2-2)=x2-1,即x2=-my2+2m+1,代入抛物线方程得y22=-4my2+8m+4,即y22+4my2-8m-4=0,则y2+2=-4m,故y2=-4m-2.又x1-x2=my1-2m+1-(-my2+2m+1)=m(y1+y2)-4m=-8m,直线AB的斜率kAB=y2-y1x2-x1=-8m8m=-1.16.已知集合A0=x|0x1.给定一个函数y=f(x),定义集合An=y|y=f(x),xA
21、n-1,若AnAn-1=对任意的nN*成立,则称该函数y=f(x)具有性质“”.(1)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是;(2)给出下列函数:y=1x;y=x2+1;y=cos2x+2,其中具有性质“”的函数是.(写出所有正确答案的序号)答案(1)y=x+1(答案不唯一)(2)解析(1)对于解析式y=x+1,由A0=x|0x1,An=y|y=f(x),xAn-1,可得A0=x|0x1,A1=x|1x2,A2=x|2x3,符合AnAn-1=.(2) 对于,A0=x|0x1,A2=x|0x1,循环下去,符合AnAn-1=,则该函数具有性质“”;对于,A0=x|0x1,A1=x|1x2,A2=
22、x|2x5,A3=x|5x26,根据单调性得相邻两个集合不会有交集,符合AnAn-1=,则该函数具有性质“”;对于,A0=x|0x1,A1=x|2x3,A2=x|1x2,A3=x|1x2,不符合AnAn-1=,则该函数不具有性质“”.所以选.17.(2020天津中学高三一模)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-233bcsin A+c2=a2.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=3,求a和sin(2B-A)的值.解析(1)由b2-233bcsin A+c2=a2,得b2+c2-a22bc=33sin A,cos A=33sin A,即tan A=3,又A(0,),
23、A=3.(2)a2=b2+c2-2bccos A,a2=4+9-22312=7,a=7(负值舍去),又asinA=bsinB,732=2sinB,解得sin B=217.ba,BA,B0,3,cos B=1-sin 2B=277,sin 2B=2sin Bcos B=437,cos 2B=2cos2B-1=17,sin(2B-A) =sin 2Bcos A-cos 2Bsin A =43712-1732=3314.18.(2020山东临沂高三二模)在3Sn+1=Sn+1,a2=19,2Sn=1-3an+1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答.已知数列an的前n项和为Sn,满足,
24、正项等差数列bn满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列.(1)求an和bn的通项公式;(2)证明:ab1+ab2+abn326.解析(1)方案一:选择.当n2时,由3Sn+1=Sn+1得3Sn=Sn-1+1,两式相减,得3an+1=an,即an+1an=13(n2),又3S2=S1+1,即3(a1+a2)=a1+1,2a1=1-3a2=1-13=23,解得a1=13,a2a1=13,an是首项为13,公比为13的等比数列,an=a1qn-1=1313n-1=13n=13n(nN*).设等差数列bn的公差为d,d0,且b1,b2-1,b3成等比数列,则b1b3=(b2-1)2,即2(2+
25、2d)=(1+d)2,解得d=3或d=-1(舍去),bn=2+(n-1)3=3n-1(nN*).方案二:选择.当n2时,由2Sn=1-3an+1得2Sn-1=1-3an,两式相减,得2an=3an-3an+1,an+1an=13(n2),又2S1=1-3a2=23,解得a1=13,a2a1=13,an是首项为13,公比为13的等比数列,an=a1qn-1=1313n-1=13n=13n(nN*).(余下解法同方案一)(2)证明:由(1)得abn=a3n-1=133n-1,则ab1+ab2+abn=132+135+133n-1=1321-133n1-133=3261-133n326.19.(20
26、20浙江杭州高三模拟)如图,在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中,AB=2A1B1,E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:BD1平面C1EF;(2)若侧棱所在直线与上下底面中心的连线O1O所成的角为45,求直线C1F与平面A1EF所成的角的余弦值.解析(1)证明:如图,连接CD1交C1E于点G,连接D1E,FG,在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中,因为AB=2A1B1,E为DC的中点,所以四边形D1ECC1是平行四边形,所以G是CD1的中点.又因为F是BC的中点,所以GF是CD1B的中位线,所以BD1GF,且GF平面C1EF,BD1平面C1EF,故BD1平面C1EF.(2)以O为原点
27、,OF所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.连接OA,过点A1作A1HOA于点H,如图所示,则A1HOO1,A1H平面ABCD,故A1AH为侧棱与底面所成的角,即A1AH=45,不妨设A1B1=2,则OO1=A1H=AH=2,所以E(0,2,0),F(2,0,0),C1(1,1,2),A1(-1,-1,2),则C1F=(1,-1,-2),A1F=(3,1,-2),EF=(2,-2,0).设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则nA1F=0,nEF=0,即3x+y-2z=0,2x-2y=0,令x=1,则y=1,z=22,n=(1,1,22).设直线C
28、1F与平面A1EF所成的角为,则sin =|cos |=|C1Fn|C1F|n|=105,因为00,b0)经过点A1,32,且离心率为12,过其右焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点,交y轴于点E.若EM=1MF,EN=2NF.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试判断1+2是不是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析(1)设椭圆C的半焦距为c,由题意可得ca=12,1a2+94b2=1,b2+c2=a2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)1+2是定值.理由如下:由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,因为直线l过点F(1,0),
29、所以直线l的方程为y=k(x-1).令x=0,可得y=-k,即E(0,-k).联立y=k(x-1),x24+y23=1,消去y可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x11,x21,则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2.EM=(x1,y1+k),EN=(x2,y2+k),MF=(1-x1,-y1),NF=(1-x2,-y2).由EM=1MF,EN=2NF,可得1=x11-x1,2=x21-x2,所以1+2=x11-x1+x21-x2=11-x1+11-x2-2=2-(x1+x2)1-(x1+x2)+x1x2-2.
30、将x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2代入上式,化简可得1+2=-83.21.(2020山东青岛高三三模)已知函数f(x)=aexln x(其中e=2.718 28是自然对数的底数),g(x)=x2+xln a,a0.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)0对任意的x(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)因为f(x)=aexln x,所以f (x)=aexlnx+1x,x(0,+).令k(x)=ln x+1x,则k(x)=x-1x2,当x(0,1)时,k(x)0,函数k(x)单调递增.所以k(x)k(1)=10,
31、又因为a0,ex0,所以f (x)0, 所以f(x)在定义域(0,+)上单调递增.(2)由h(x)0得g(x)-f(x)0,即aexln xx2+xln a,所以lnxxlnxx对任意的x(0,1)恒成立,设H(x)=lnxx,则H(x)=1-lnxx2,当x(0,1)时,H(x)0,函数H(x)单调递增,且当x(1,+)时,H(x)0,当x(0,1)时,H(x)x,则H(aex)0H(x),若0aexH(x),且H(x)在(0,1)上单调递增,所以aexx,综上可知,aexx对任意的x(0,1)恒成立,即axex对任意的x(0,1)恒成立.设G(x)=xex,x(0,1),则G(x)=1-x
32、ex0,所以G(x)在(0,1)上单调递增,所以G(x)G(1)=1ea,即a的取值范围为1e,+.22.(2020河南实验中学高三测验)某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是不是阳性,现有n(nN*)份血液样本,有以下两种检验方式:方式一:逐份检验,则需要检验n次.方式二:混合检验,将其中m(mN*且m2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这m份血液样本全为阴性,因而这m份血液样本只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这m份血液样本究竟哪几份为阳性,就要对这m份血液样本再逐份检验,此时这m份血液样本的检验次数总共为m+1.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果
33、是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0p0,则q1,x1=1,下面证明对任意的正整数n,xn=en-13.当n=1,2时,显然成立;假设对任意的n=k,xk=ek-13,下面证明n=k+1时,xk+1=ek3,由题意,得e-13i=1kxk+12xixi+1=xk+12-x12x22-x12,e-13xk+121x1x2+1x2x3+1xk-1xk+1xkxk+1=xk+12-1e23-1,e-13xk+12e-131-(e-23)k-11-e-23+1ek-13xk+1=k+12-1e23-1,xk+12(1-e-2(k-1)3)e23-1+e-k3xk+1=xk+12-1e23-1,e-2(k-1)3xk+12+(e-k3-e-k3+23)xk+1-1=0,(e-k3xk+1-1)(e-k3+23xk+1+1)=0,xk+1=ek3或xk+1=-ek3-23(舍去),xk+1=ek3成立.综上xn=en-13,xn为等比数列.(ii)由(i)知,p=1-13x4=1-13e,E(1)E(2),kk+1-k(1-p)k,得1kk3.设f(x)=ln x-x3(x0),则f (x)=3-x3x,当2x0,即f(x)在2,3)上单调递增;当x3时, f (x)43.ln 51.609 4,531.666 7,ln 553,k的最大值为4.
