1、浙江省2021届高三数学下学期4月模拟试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1已知集合Ax|y，Bx|x（x2）0，则（RA）B（）A（1，2）B（0，1）C（0，+）D（，2）2设复数z的共轭复数为若z1i（i为虚数单位），则的值为（）AiBiC0D3i3已知a，bR，则“|a|+|b|2”是“|ab|1”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D即不充分也不必要条件4设平面平面，l，点P，且Pl，则下列命题中真命题的是（）A过点P且垂直于的直线平行于lB过点P且垂直于的直线平行于C过点P且垂直于的平面平行于lD过点P且垂直于的平面平行于5函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1，
2、16，当a变动时，函数bg（a）的图象可以是（）ABCD6已知等差数列an前n项和为Sn，且，则等于（）ABCD7国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A120种B48种C36种D18种8已知实数x，y满足不等式组设z2|x|y，则z的取值范围为（）A1，10B1，1C10，1D1，59如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，
3、B分别是C1与C2在第二、四象限的公共点，若AF1BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（）A6+BCD10三棱锥DABC中，ACD2ACB120，CD2BC，则异面直线AC与BD所成的角可能是（）A30B45C60D75二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11我国古代书籍九章算术第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱，人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）12某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为
4、 cm2，其体积为 cm313已知bxn+1a0+a1（x1）+a2（x1）2+an（x1）n对任意xR恒成立，且a19，a236，则b ；a1+2a2+nan 14由1，2，3，4，5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为M，现从M中任取一个数设组成此三位数的数字中不同的偶数字的个数为，例如：若取出的数为212，即1；若取出的数为214，即2则概率P（0） ，数学期望E（） 15已知实数x，y满足x2+xy1，则y22xy的最小值为 16已知点O是ABC的外心，BAC60，设，且实数m，n满足m+4n2，则mn的值是 17设圆O：x2+y21上两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足，则|
5、x12y1|+|x22y2|的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且btanA（2cb）tanB（）求角A；（）若向量（cosB，2cosA），（0，cos2），求|2|的取值范围19如图，三棱锥PABC中，底面ABC为正三角形，PA平面ABC，AG平面PBC，垂足为G（）问G是否可能是PBC的垂心？说明你的理由；（）若G恰是PBC的重心，求直线BC与平面ABG所成的角20已知数列an前n项和为Sn满足S12，Sn+13Sn+2（nN*）（）求通项公式an；（）设bn（nN*），求证：b1
6、+b2+bnn21已知点P（2，1）到抛物线C：y2ax（a0）的准线的距离为，设过点P的直线与C相交于两点A，B（异于坐标原点O）（）求实数a的值；（）求cosAOB的取值范围22设函数f（x）alnxx2+x+b（a，bR）（）求f（x）的极值；（）已知a0若存在实数b，使得eaf（x）e2+1对x1，e恒成立，求a的取值范围（其中e是自然对数的底数）参考答案一、选择题（共10小题）.1解：Ax|x1，Bx|0x2，RAx|x1，（RA）B（0，+）故选：C2解：因为z1i（i为虚数单位），所以+（1i）22ii2ii，故选：B3解：由“|a|+|b|2”，得1，所以|ab|1，充分性成立
7、；由|ab|1，不能得出|a|+|b|2成立，例如：时，满足|ab|1，但|a|+|b|52，所以必要性不成立；是充分不必要条件故选：B4解：对于A：过点P且垂直于的直线垂直于内的所有直线，则垂直于l，故A错；对于B：在内作一直线l1垂直于l，由平面平面，l，可得l1，从而有过点P且垂直于的直线平行于l1，进而平行于，故B正确；对于C，D，过点P且垂直于的平面可以围绕过点P且垂直于的直线旋转，则过点P且垂直于的平面与l不一定平行，与也不一定平行，故C，D均错误故选：B5解：根据选项可知a0a变动时，函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1，16，2|b|16，b4故选：B6解：等差数列an前n
8、项和为Sn，且，a1d，则，故选：D7解：根据题意，分3步进行分析：先将一条奥运宣传广告放在最后，有2种情况，将3个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有种情况，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种情况，则有23636种播放方式，故选：C8解：由z2|x|y得y2|x|z，画出y2|x|的折线图象，当该折线图像沿y轴向上平移经过点B（0，1）时，z取最大值为1；当该折线图像沿y轴向下平移经过点时，z取最小值为10，即10z1，即1z10，故选：A9解：连接AF2，BF2，则由对称性及AF1BF1，得矩形AF1BF1，故由,，得令，则，设，由，得t2，当1t2时，f（t）0，函数是减函数
9、，t2时，f（t）0，函数是增函数，t2时，函数取得最小值，故，故选：C10解：设CD2BC2m由于ACB+ACD180，将侧面ACD沿AC展开到平面ABC，则三点B、C、D共线，又此三棱锥可看成将ACD沿直线AC翻折而成的，故不难得设异面直线AC与BD所成的角为，则，即（30，60），故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）117， 5解：人数是x，物价是y（钱），则由题意，得，解得，所以人数是7，物价是53钱故答案为：7，5312. cm2， cm3解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2的为等边三角形，高为2的三棱柱体；如图所示：
10、所以该几何体的体积为：V，该几何体的表面积为：12+2故答案为：此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱13 1； 2304解：设x1t，则，由此得，解得另一方面，等式两边对t求导，得，再令t1，得故答案为：1；230414 ， 解：M中元素有53125个，这125个三位数（可重复数字）可分以下三类：0，即全有奇数字组成的三位数（可重复数字）有3327个；P（0），1即只有一个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有3323+332+274个，P（1），（注意不要遗漏形如252，344，222等三位数）；2即只有两个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有个，P（2），（注意不要遗漏形如242，2
11、44等三位数）所以的分布列如下：012P所以故答案为：，15解：由x2+xy1，得，所以，这里等号能成立故答案为：16 0解：由，得又BAC60，即有解得，由取等号条件知b2c，从而mn0故答案为：017 解：由，得AOB120设表示两点A，B分别到直线x2y0的距离之和取直线x2y0为x轴重新建立直角坐标系后，则h表示两点A，B分别到x轴的距离之和在新的直角坐标系下，设A（cos，sin），B（cos（+120），sin（+120），则有h|sin|+|sin（+120）|，由对称性，不妨设点B在x轴上或上方，即12060所以当060时，hsin+sin（+120）sin（+60），060，
12、60+60120，sin（+60），1，h，1，当1200时，hsin+sin（+120）cos（+60），1200，60+6060，cos（+60），1，h，综上得，从而得故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18解：（I）由btanA（2cb）tanB，及正弦定理，得，即sinAcosB+cosAsinB2sinCcosA，即sin（A+B）2sinCcosA，所以，A60（II），可得所以，由于0B120，得，所以19解：（I）设G是PBC的垂心，则BGPC，由AG平面PBC，得AGPC，所以PC平面ABG，即PCAB，又由PA平面ABC
13、，得PAAB，所以，AB平面PAC，从而ABAC，这与正三角形ABC矛盾所以，G不可能是PBC的垂心（II）延长BG交PC于E，连AE，则E是PC中点延长PG交BC于F，连AF，则F是BC中点，由G恰是PBC的重心，得PG2GF不妨设AB2正三角形ABC中，BCAF由AG平面PBC，可得AGPF，AGBE由PA平面ABC，得PAAF在RTPAF中，由AF2FGFP3FG2，得FG1，进而从而，在PBC中，由2（BE2+CE2）PB2+BC2，得设BC与平面ABG所成的角为，点C到平面ABG的距离为h，则由E是PC中点，可得，即有，所以，从而，即BC与平面ABG所成的角为4520【解答】（I）解
14、：由Sn+13Sn+2（nN*），得Sn3Sn1+2（n2），两式相减，得an+13an（n2）由S23S1+2a1+a2，S1a12，得a263a1，所以，即数列an是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有（II）证明：由（I）知，从而，所以，当n2时，从而有；当n1时，不等式显然成立综上，有成立21解：（I）抛物线C：y2ax（a0）的准线方程为，所以点P到准线的距离为，得a2（II）设，并设AB方程为t（y1）x2，将xty+2t代入抛物线方程y22x，得y22ty+2t40，进而有y1+y22t，y1y22t4由于A，B异于坐标原点O，所以y1y22t40，即t2所以，当t（t2）0，
15、即t2或t0时，由t2或t0，得，所以；当t（t2）0（t2），即t0时，cosAOB0；当t（t2）0，即0t2时，由0t2，得，所以；综上，cosAOB的取值范围22解：（I）a0，x0，当a0时，当0xa时，f（x）0；当xa时，f（x）0所以f（x）的增区间为（0，a，减区间为a，+），所以f（x）有极大值为f（a）alna+b，无极小值；当a0时，当时，f（x）0；当x时，f（x）0所以f（x）的增区间为，减区间为，所以f（x）有极大值为，无极小值综上可知，当a0时，f（x）的极大值为f（a）alna+b，无极小值；当a0时，f（x）的极大值为，无极小值（II）若0a1，则由（I）知
16、f（x）在1，e上单调递减，故要使得eaf（x）e2+1对1，e恒成立，只要存在实数b，使得成立，即要，从而只要，又0a1，解得若1ae，则由小题（I）知f（x）在1，a上单调递增，在a，e上单调递减，故要使得eaf（x）e2+1对1，e恒成立，只要存在实数b，使得成立，即要，从而只要，即由于1ae，可知e2e+aa2lnae2e+aa2（ea）（e+a1）0成立，从而（*）式成立；由于1ae，可知（*）式显然成立所以，当1ae时，符合题意若ae，则由（I）知f（x）在1，e上递增，故要使得eaf（x）e2+1对1，e恒成立，只要存在实数b，使得成立，即要，从而只要，解得12eae，又ae，所以ae；综上所述，a的取值范围是