1、第五节数列的综合应用时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()A. B.C. D.或解析设an的公比为q(q0)，由a3a2a1，得q2q10，解得q.而q.答案B2据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an则数列an是首项a12，公差d2的等差
2、数列，由求和公式有na1240，即2nn(n1)240，解得n15.答案C3设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是()A. B.C. D.解析由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.f(x)x2x，则.Sn11.答案A4已知数列an的通项公式为anlog2(nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n()A有最小值63 B有最大值63C有最小值31 D有最大值31解析anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)由Sn6，即n264，n62，n
3、有最小值63.答案A5已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除，得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a11，a22，所以a1022432，a1112532.又因为anan1bn，所以b10a10a1164.答案D6抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交点分别为An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是()A. B.C. D.解析令y0，则(n
4、2n)x2(2n1)x10.设两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2.解得x1，x2.|AnBn|.|A1B1|A2B2|AnBn|1.|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|.答案B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知数列an满足a11，a22，an2，则该数列前26项的和为_解析由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期为4的数列，故S2661210.答案108已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)(n2)13333n2n，所以n1.设f(x)
5、x1，则f(x)1.令f(x)0，得x或x，所以的最小值为.答案9(2013安徽卷)如图，互不相同的点A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等设OAnan.若a11 ，a22，则数列an的通项公式是_解析A1B1A2B2A3B3AnBn，不妨设OA1OB1，OA2OB2，OA3OB3，OAnOBn.梯形A1A2B2B1，A2A3B3B2，An1AnBnBn1的面积均为S，O.梯形A1A2B2B1的面积为S，则Sasinasin22sin12sinsin.梯形A2A3B3B2的面积Sasinasinsin，可解得
6、a3，同理a4，故an.答案an三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，(nN*)(1)求f(x)的解析式；(2)若数列an满足f，且a14，求数列an的通项公式解(1)由f(x)2axb，解之得a，b2n，即f(x)x22nx(nN*)(2)由2n，2n.由累加得n2n，an(nN*)11某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)
7、设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新解(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列an12010(n1)13010n；当n6时，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a670，所以an70n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)570704780210n6，An.因为an是递减数列，所以An是递减数列又A88280，A976
8、80.所以须在第9年初对M更新12设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(nN*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为Sn，且Tn.若对于一切的正整数n，总有Tnm，求实数m的取值范围解(1)由x0，y0,3nnx0，得0x3.x1，或x2.Dn内的整点在直线x1和x2上记直线ynx3n为l，l与直线x1，x2的交点的纵坐标分别为y1，y2.则y1n3n2n，y22n3nn.an3n(nN*)(2)Sn3(123n)，Tn.Tn1Tn.当n3时，TnTn1，且T11T2T3.于是T2，T3是数列Tn中的最大项，故mT2.