1、河北省张家口市第一中学2018-2019学年高一4月月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合,.故选C.2.等于A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简即可求出值【详解】解：sin240sin（180+60）sin60故选：D【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意两两垂直，因此可把此三棱锥补成以为棱的长方体，长方体的外接球就是三棱锥
2、的外接球，球的直径为，即，所以，故选D4.如图，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为 () A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积【详解】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积为：122故选：A【点睛】本题考查斜二测直观图与平面图形的面积的关系，斜二测画法，考查计算能力5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为A. 相交B. 平
3、行C. 异面而且垂直D. 异面但不垂直【答案】D【解析】解：利用展开图可知，线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D6.已如向量，且与互相垂直，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，因为，所以，则，即，故选7.已知，并且，成等差数列，则的最小值为A. 16B. 9C. 5D. 4【答案】A【解析】【分析】根据题意，由等差中项的定义分析可得1，进而分析可得a+9b（a+9b）（）10，由基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意，a0，b0，且，成等差数列，则21；则a+9b（a+9b）（）1010+216；当且仅当，即=时取到
4、等号，a+9b的最小值为16；故选：A【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到18.函数的单调递增区间是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由0得：x(,2)(4,+)，令t=，则y=lnt，x(,2)时,t=为减函数；x(4,+)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+)，故选：D.点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；当内层函数单减，外层函数单减时，函数也
5、单增.简称为“同增异减”.9.等比数列中，则与的等比中项是A. B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等比数列an的性质可得 ，即可得出【详解】设与的等比中项是x由等比数列的性质可得， a4与a8的等比中项 故选：A【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题10.在中，若，则是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】试题分析：由中，若，根据正弦定理得，所以，所以角为钝角，所以三角形为钝角三角形，故选C.考点：三角形的形状的判定.11.下列点不是函数的图象的一个对称中心的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正切
6、函数的图象的对称性，得出结论【详解】解：对于函数f（x）tan（2x）的图象，令2x，求得x，kZ，可得该函数的图象的对称中心为（，0），kZ结合所给的选项，A、C、D都满足，故选：B【点睛】本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题12.已知向量与向量夹角为，且，则A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】，可得0，代入解出即可【详解】解：，320，解得1故选：C【点睛】本题考查平面向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若关于x的不等式的解集是，则_【答案】1【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应
7、方程的两个根，再由根与系数的关系求出a，b即可【详解】关于x的不等式ax2+x+b0的解集是（-1，2），-1，2是方程ax2+x+b=0的两个根，-1+2=-，-12=，解得a=-1，b=2；a+b=-1+2=1故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值14.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_【答案】36【解析】三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱
8、锥SABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得 ，解得r=3.球O的表面积为： .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.15.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是_. 【答案】【解析】因为，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐
9、标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解【此处有视频，请去附件查看】16.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面在下列命题中，正确的是_写出所有正确命题的序号 若，则或；若，则；若，则；若，则【答案】【解析】【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论【详解】解：若m，且mn，分两种情况：n在内或不在，则m或m故正确；若m，n，m，n，m，n相交，则，故不正确；若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是
10、平行关系，故不正确；由平行的传递性知若，则，因为m，所以m，故正确故答案为：【点睛】本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，
11、一般转化为证明线面垂直；（）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（）由即可求解.试题解析:（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直.18.已知等差数列的前n项和满足，求的通项公式；求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1
12、）根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求an的通项公式；（2）易得表示首项为1且公差为3的等差数列的前n+1项和，由求和公式可得【详解】解：由等差数列的性质可得，解得，则的通项公式；（2）为等差数列，以1为首项，以为公差的等差数列，.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力19.如图，在四棱锥中，且.（1）证明：平面平面；（2）若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，得，从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，
13、由此能求出该四棱锥的侧面积.试题解析：（1）由已知，得，由于，故，从而平面又平面，所以平面平面（2）在平面内作，垂足为由（1）知，面，故，可得平面设，则由已知可得，故四棱锥的体积由题设得，故从而，可得四棱锥的侧面积为 20.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 判断的形状；若，点D为AB边的中点，求的面积【答案】（1）直角三角形或等腰三角形；（2）【解析】试题分析：（1）要判断三角形的形状，可先得出三角形的边的关系或角的关系，已知条件中有边有角，观察已知等式，利用正弦定理化边为角，再由三角函数恒等变形公式变形得，因此有或，这里不能约分；（2）由，知，要求三角形面积，就要求边长，为此设设，
14、则，利用余弦定理表示出后可求得，从而得三边长，最终求得面积试题解析：（1）由得：即：即：故，为直角三角形或等腰三角形（2）若，则，设，则在中，故考点：三角形判状的判断，正弦定理，余弦定理，三角形面积21.在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E，F是线段BC，AB的中点证明：；在线段PA上确定点G，使得平面PED，请说明理由【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由PA平面ABCD先证明DEPA连接AE，由勾股定理证明DEAE，通过证明DE平面PAE，即可得证PEED（2）过点F作FHED交AD于点H，再过点H作HGDP交PA于点G，通过证明平面平面平面PED，然后证明平
15、面PED，【详解】解： 1证明：由平面ABCD，得连接AE， 因为，所以由勾股定理可得所以平面PAE，因此 2过点F作交AD于点H，则平面PED，且有再过点H作交PA于点G，则平面PED，且由面面平行的判定定理可得平面平面PED，进而由面面平行的性质得到平面PED，从而确定G点位置【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题22.如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理
16、，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平几条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直（2）一般可利用空间向量的数量积求二面角的大小， 首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.试题解析：(1)由已知得，,又由得，故，因此 ，从而.由得. 由得.所以,. 于是,故.又,而, 所以平面. 如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ， . 设是平面的法向量， 则，即，可取. 设是平面的法向量， 则，即，可取 于是， 设二面角的大小为，.因此二面角的正弦值是. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.