1、第四节 计数原理与排列、组合 第四节 计数原理与排列、组合 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1分类计数原理完成一件事有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法m1m2mn2分步计数原理完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法m1m2mn思考感悟1利用分类计数原理还是分步计数原理计算方法种数时，选择原理的依据是什么？提示：完成一件事是分类
2、完成还是分步完成，是选择原理计算方法种数的依据，“分类”：每一类方法都可完成事件；“分步”：每一步都完成，缺一步也不行 3排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示一定的顺序排成一列(3)排列数公式：Amn _.(4)排列数的性质：(1)Annn！；(2)0！_.n(n1)(n2)(nm1)14组合(1)组合的定义：从n个不同元素中，任意取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元
3、素中任取m个元素的一个组合n！nm！(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中，取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合数，用符号 Cmn 表示(3)组合数公式C mn AmnAmm nn1n2nm1m！_.规定：C0n1.n！m！nm！(4)组合数的两个性质Cmn Cnmn；Cmn1_.(5)常用的几个恒等式CkkCkk1Ckk2CkknCk1nk1；kCknnCk1n1；nn！(n1)！n！.CmnCm1n思考感悟2如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元
4、素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题 课前热身 1某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，求不同的发送方法数 解：由分步计数原理可知，共分为5个步骤，发送5个电子邮件，每个电子邮件共有3种发送方法，故不同发送方法数为3333335243.2(2011年苏州调研)某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字(如2816)的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有多少个？解：由于千位、百位确定下来后，十位、个位就随之确定，则只需考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有101
5、0100(个)3如图用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有多少种？解：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D与A同色有1种，D与A不同色有3种，故不同涂法有654(13)480(种)考点探究挑战高考 两个原理的应用考点突破 1分类计数原理 分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事 2分步计数原理(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事；(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺
6、少任何一步，这件事都不可能完成 3综合应用两个原理的注意事项：用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准在“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性例1 已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限内不同点的个数为多少？【思路分析】根据题意可知：此题适合先分步再分类进行计算【解析】可分为两类以集合M的元素作为横坐标，N的元素作为纵坐标；根据分步计数原理，有326(个)以集合N中的元素作为横坐标，M的元素作为
7、纵坐标；根据分步计数原理，有428(个)综合上面两类，利用分类计数原理，共有6814(个)【答案】14【名师点评】在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，然后还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么变式训练1 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为多少？解：分两类：选 0，有 C12C23C13A33108(种)；不选 0，有 C23A4472(种)共有 10872180(种)有限制条件的排列问题排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元
8、素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子当正面情况较复杂时，也可采用间接法当有两个特殊位子时，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论 例2有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人【思路分析】根据实际条件正确选用“捆绑法”、“插空法”等数学模型【解】(1)从 7 个人中选 5 个人来排，是选排
9、列有 A57765432520(种)(2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人排在后排，有 A44种方法，故共有 A37A445040(种)(3)优先法法一：甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法；其余 6人有 A66种方法，故共有 5A663600(种)法二：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的6 个人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列，有 A55种方法，共有 A26A553600(种)(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4名女生进行全排列，也有 A44种方法故共有
10、 A44A44576(种)(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A35种方法故共有 A44A351440(种)(6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有 A22种方法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间，有 A35种；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A33种方法故共有 A22A35A33720(种)【名师点评】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素(这种方法称为特殊元素或特殊位置法)；或者，先求
11、出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果互动探究2 本题条件不变，求：(1)3男生顺序不变，有多少种排法？(2)在甲、乙两人之间必须也只须插入二人，有多少种排法？解：(1)采用相除法.7 人作全排列有 A77种排法，由 3 男生顺序不变，而 3 男生在全排列中不同次序有 A33种，从而 A77A33840(种)(2)采用整体法，分步完成首先将甲、乙二人全排列，有 A22种排法；其次从另 5 人中选二人排入甲、乙之间，并加以捆绑有 A25种；最后作4 个元素的全排列，有 A
12、44种从而由分步乘法计数原理得有 A22A25A44960(种)排法有限制条件的组合问题解答组合应用问题的基本思路：(1)整体分类，从集合的角度来讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集为空集，即“不重”；(2)局部分步，整体分类后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立 在解组合问题时，常遇到至多、至少等问题，可以考虑采用间接法，以减少运算量例37名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长
13、、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任【思路分析】先把具体问题化归为组合问题，然后通过分析确定运用两个计数原理，最后列出式子准确计算【解】(1)由于 A，B 必须当选，那么从剩下的10 人中选取 3 人即可，有 C310120(种)(2)从除去的 A，B 两人的 10 人中选 5 人即可，有 C510252(种)(3)全部选法有 C512种，A，B 全当选有 C310种，故 A，B 不全当选有 C512C310672(种)(4)注意到“至少有 2 名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，有 C512C15C47C57596(种)选法(5)分三
14、步进行：第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15；第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种；第三步：为这 3 人安排工作有 A33.由分步乘法计数原理共有C17C15C26C14A3312600(种)选法【名师点评】在解组合问题时，常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量，如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步排列组合的综合问题从1,3,5,7,9和2,4,6,8,0中各选出两个数字，能组成多少个四位偶数？【思路分析】分两类，含0和不含0讨论【
15、名师点评】在排数字问题中，“0”是往往需要分类考虑的特殊元素例4【解】分两类：第一类，含 0 的偶数.2 个奇数的选法有 C25种，另一个偶数的选法有 C14种，选出的 4 个数组成的偶数共有 C25C14(A33A12A22)400(个)；第二类，不含 0 的偶数.2 个奇数的选法有 C25种，2 个偶数的选法有 C24种，再排成四位偶数，共有 C25C24A12A33720(个)四位偶数共有 4007201120(个)变式训练3 有3位司机、6位售票员被分配到三辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和两位售票员，那么不同的分配方法有多少种？解：第一步：把 3 位司机分到三辆公共汽车上，
16、有 A33种分法；第二步：把 6 位售票员分到三辆汽车上有 C26C24C22种方法，故共有 A33C26C24C22540(种)方法感悟 方法技巧1两个计数原理(1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事(2)混合问题一般是先分类再分步(3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律 2排列组合应用题(1)求解排列组
17、合应用题，要仔细读题、用心理解、合理转化，寻找解题的最佳切入点，切忌概念模糊、审题不清、方法不明、“加”“乘”颠倒、有序无序混淆、公式乱用，还有讨论要做到不重不漏 处理这类问题的一些基本思想：对于数字排列问题，一般从高位往低位排；正面考虑(直接法)较繁或很难下手，不妨从反面入手(间接法)；位置或元素有附加条件时，往往先着眼于有条件的位置或元素，按其性质进行分类、分步(如插入法、捆绑法)；复杂的问题设法(如减少元素个数，问题转化等)建立简单的模型帮助理解，然后再找出一般的解题模式(2)组合问题中常见问题：在解组合应用题时，常会遇到“至少”、“最多”、“含”等词，要仔细审题，理解其含义；在求解几何
18、中的组合问题时，应紧紧抓住对应规律，处理与集合有关的组合问题时，可通过试验，画Venn图帮助寻找解题途径(3)对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步失误防范1应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏 2解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，两个原理较少单独考查一般与排列、组合的知识相结
19、合命题，这部分知识也常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查 预测2012年江苏高考，两个原理与排列、组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合重点考查运算能力与逻辑推理能力真题透析 例(2010年高考天津卷改编)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_种【解析】(1)B，D，E，F 用四种颜色，则有 A441124(种)涂色方法；(2)B，D，E，F 用三种颜色，则有 A3422A34212192(种)涂色方法；(3)B，D，E，F 用两种颜色，则有 A242
20、248(种)涂色方法；所以共有 2419248264(种)不同的涂色方法【答案】264【名师点评】涂色问题是排列组合问题中的一类典型问题，分成不同的类别，在每一类中寻找涂色的方法种数，要有“线索”，不能无“规则”12010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有_种 名师预测 解析：若小张和小赵恰有 1 人入选，则共有C12C12A3324(种)方案，若小张和小赵两人都入选，则共有 A23A2212(种)方案，故总共有 241236(种)
21、方案答案：362某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种解析：分两类：第一类：甲排在第一位，共有A4424(种)排法；第二类：甲排在第二位，共有A13A3318(种)排法，所以共有编排方案 241842(种)答案：423现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是多少？解：分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 C23A3318(种)；若有 1 人从事司机工作，则方案有 C13C24A33108(种)，所以共有 18108126(种)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用