1、1名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学第六节 空间向量及其运算(理)时间：45 分钟 分值：75 分一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1的交点若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是()A12a12bcB.12a12bcC12a12bcD.12a12bc解析 显然BMBB1B1M12(ADAB)AA112a12bc，故选 A.答案 A2已知 O，A，B，C 为空间四个点，又OA，OB，OC为空间的一组基底，则()AO，A，B，C 四点不共线BO，A，B，C
2、 四点共面，但不共线CO，A，B，C 四点中任意三点不共线DO，A，B，C 四点不共面2名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学解析 OA，OB，OC为空间的一组基底，所以OA，OB，OC不共面，但 A，B，C 三种情况都有可能使OA，OB，OC共面答案 D3已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三个向量共面，则实数 等于()A.627B.637C.647D.657解析 由于 a，b，c 三向量共面所以存在实数 m，n 使得 cmanb，即有72mn，5m4n，3m2n，解得 m337，n177，657.故选 D.答案 D4正方体不在同一表面上的两
3、个顶点为 A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积为()A8 B27C64 D128解析 由于 A，B 是正方体上不共面的两个顶点，则 A，B 必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB|1322221324 3，故正方体的边长为 4，体积为 4364.故选 C.答案 C5在空间四边形 ABCD 中，ABCDACDBADBC等于()3名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学A1 B0C1 D不确定解析 方法 1：如图所示，在空间四边形 ABCD 中，连接对角线AC、BD，得三棱锥 ABCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，正四面体的对棱互相垂直，ABCD0，ACDB0，AD
4、BC0.ABCDACDBADBC0.故选 B.方法 2：在方法 1 的图中，选取不共面的向量AB，AC，AD为基底，则原式AB(ADAC)AC(ABAD)AD(ACAB)ABADABACACABACADADACADAB0.故选 B.答案 B4名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学6如图所示，已知空间四边形 OABC 中，|OB|OC|，且AOBAOC，则OA，CB夹角 的余弦值为()A0 B.12C.32D.22解析 设OAa，OBb，OCc.由已知条件AOBAOC，且|b|c|，OABCa(cb)acab|a|c|cosAOC|a|b|cosAOB0，cos0.故选 A.答案 A
5、二、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)7已知点 A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若AP2PB，则|PD|的值是_解析 设 P(x，y，z)，则AP(x1，y2，z1)，PB(1x,3y,4z)，5名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学由AP2PB知 x13，y83，z3，故 P13，83，3.由两点间距离公式可得|PD|773.答案 7738如图所示，已知空间四边形 ABCD，F 为 BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF(ABDC)，则 _.解析 如图所示，取 AC 的中点 G，连接 EG，GF，则EFEGGF12(ABDC)，12
6、.答案 129在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 AA1 和 BB1的中点，则 sinCM，D1N的值为_6名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学解析 设正方体棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA 所在直线为 x轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，可知CM(2，2,1)，D1N(2,2，1)，cosCM，D1N19，sinCM，D1N4 59.答案 4 59三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)10已知 a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2
7、)(ac)与(bc)所成角的余弦值解(1)因为 ab，所以 x24y 11，解得 x2，y4，这时 a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为 bc，所以 bc0，即68z0，解得 z2，于是 c(3，2,2)(2)由(1)得 ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，7名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学因此 cos512338 38 219.11(2014江门质检)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设AA1a，ABb，ADc，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N
8、；(3)MPNC1.解(1)P 是 C1D1 的中点，APAA1A1D1D1PaAD12D1C1ac12ABac12b.(2)N 是 BC 的中点，A1NA1AABBNab12BCab12ADab12c.(3)M 是 AA1 的中点，MPMAAP12A1AAP8名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学12aac12b 12a12bc.又NC1NCCC112BCAA112ADAA112ca，MPNC112a12bc a12c32a12b32c.12(2013重庆卷)如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD3，F 为 PC 的中点，AFPB.(
9、)求 PA 的长；()求二面角 BAFD 的正弦值9名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学解()如图，连接 BD 交 AC 于 O，因为 BCCD，即BCD为等腰三角形，又 AC 平分BCD，故 ACBD.以 O 为坐标原点，OB，OC，AP的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 OCCDcos31，而 AC4，得 AOACOC3，又 ODCDsin3 3，故 A(0，3,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(3，0,0)因 PA底面 ABCD，可设 P(0，3，z)，由 F 为 PC 边中点，F(0，1，z2)又AF(0,2，z2)
10、，PB(3，3，z)，因 AFPB，故AFPB0，即 6z220，z2 3(舍去2 3)，所以|PA|2 3.()由()知AD(3，3,0)，AB(3，3,0)，AF(0,2，3)设平面 FAD 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，平面 FAB 的法向量为 n2(x2，y2，z2)，由 n1AD0，n1AF0，得10名师一号高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学 3x13y10，2y1 3z10，因此可取 n1(3，3，2)由 n2AB0，n2AF0，得 3x23y20，2y2 3z20，故可取 n2(3，3，2)从而法向量 n1，n2 的夹角的余弦值为cosn1，n2 n1n2|n1|n2|18.故二面角 BAFD 的正弦值为3 78.
