1、数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，那么A. B. C. D. 2. 函数的图象为 A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则A. B. C. D. 4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，则A. B. C. 2D. 15. 已知是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则A. B. 1C. D. 36. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入k的值可以为 A. 4B. 6C. 8D. 107. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是A. B. C. D. 8. 如图在直角坐标系xOy中，过坐
2、标原点O作曲线的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为A. B. C. D. 9. 已知等差数列中，则数列的前2018项和为A. 1008B. 1009C. 2017D. 201810. 已知在数列中，则等于A. B. C. D. 11. 已知函数，则以下判断中正确的是A. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到B. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到C. 函数的图象可由函数的图象向右平移而得到D. 函数的图象可由函数的图象向左平移而得到12. 设为等差数列的前n项和，若，则的最小值为A. B. C. D. 二、
3、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数，的值域是_14. 已知向量，函数，且图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为，的解析式为_15. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是_16. 选做题：若a，b，且，则的最小值为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量，函数求函数的最小正周期和单调递减区间；在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求面积的最大值18. 已知某校5个学生期末考试数学成绩和总分年级排名如表：学生的编号i12345数学11511293125145年级排名2503004507010通过大
4、量事实证明发现，一个学生的数学成绩和总分年级排名具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示年级排名，求y与x的回归方程；其中都取整数若在本次考试中，预计数学分数为120分的学生年级排名大概是多少？参考数据和公式：，其中，其中19. 已知数列满足求数列的通项公式；若，且，求m的值20. 已知函数，当时，解不等式若对于恒成立，求实数a的取值范围21. 如图，设是边长为2的正三角形，平面ABC，若EA：AB：2：1，F是BE的中点证明：平面ABE；求CE与平面EAB所成角的正弦值22. 已知圆：关于直线：对称的圆为C求圆C的方程；过点作直线l与圆C交于A，B两点，O
5、是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，请说明理由 数学试卷答案和解析1.【答案】B【解析】解：由不等式2，得到集合；集合Q中的不等式可化为：，解得，故集合，定义集合且，则故选：B先根据对数函数的性质求出集合P中的不等式log2的解集得P，再求出集合Q中的绝对值不等式的解集即Q，然后根据题中的新定义即可求出即可此题要求学生掌握对数函数的定义域、对数函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题2.【答案】D【解析】解：首先根据定义域：，所以，故排除A，B，再根据复合函数的单调性可得，在定义域上为单调递减函数，
6、故排除C，故选：D分析：本题考查对数函数的图象与性质，对于选择题，排除法是一种找出正确选项的很好的方式3.【答案】D【解析】解：函数，则，由在R上递增，可得，则，故选：D由分段函数运用对数函数的单调性求出，运用指数函数的单调性，判断，进而得到a，b，c的大小本题考查分段函数的运用：比较函数值的大小，注意运用对数函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的性质及应用，对数的运算，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题根据题意，由函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性分析可得，即可得答案【解答】解：根据题意，当时，则，因为函数是定义在R上的奇
7、函数，所以，故选：A5.【答案】D【解析】解：由，可得点P为线段BC的三等分点且靠近点C，设，的夹角为，由的几何意义为在方向上的投影，则有：，故选：D由平面向量数量积的性质及其运算得：，可得点P为线段BC的三等分点且靠近点C，由的几何意义为在方向上的投影，则有：，得解本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题6.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得， 不满足条件， 不满足条件， 不满足条件， 由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S的值为48，故应有： 故选：C模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当时，由题意，此时应该满足条件，退出循环，则可得到k的范围本题主要
8、考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题7.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意概率计算公式的合理运用先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，位女生中有且只有两位女生相邻的概率故选：B8.【答案】A【解析】解：设，由，则以点P为切点过原点的切线方程为：，又此切线过点，求得：，即，以点P为切点过原点的切线方程为：由定积分
9、的几何意义得：，设“向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A，由几何概型的面积型可得：，故选：A由导数的几何意义，求过曲线外一点的切线方程得：点P为切点过原点的切线方程为：由定积分的几何意义得：，由几何概型中的面积型得：，得解本题考查的过曲线外一点的切线方程、定积分的几何意义及几何概型中的面积型，属中档题9.【答案】D【解析】解等差数列中，则：，所以：，整理得：，则：数列设，则：， ， 故选：D首先利用等差数列的项求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10.
10、【答案】B【解析】解：在数列中，由此猜想当时，成立假设时，成立，则当时，也成立，故选：B由递推公式依次求出数列的前四项由此猜想再用数学归纳法进行证明，从而能求出本题考查数列的第12项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想和数学归纳法的合理运用11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，属于基础题利用三角恒等变换化简的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数，故把函数的图象向左平移个单位，可得的图象，故选：A12.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得，设，当时，；函数是减函数；当时，函数是增函数；所以时，取得最小值：故选：A分别利
11、用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得，d，在代入求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题13.【答案】【解析】解：，即当时，函数的值域是故答案为：利用三角函数中的恒等变换可求得，利用正弦函数的单调性与最值即可求得其值域本题考查二倍角的余弦与诱导公式，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题14.【答案】【解析】解：向量，则函数，又图象上最高点与之相邻的最低点坐标，计算，即，解得；又图象上最高点的坐标为，所以的解析式为故答案为：计算平面向量的数量积，根据三角恒等变换与三角函数的图象与性质，即可求出的解析式本题考查了平面向量的数量积运算
12、与三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题15.【答案】【解析】解：设，线段AB的中点M为则，即端点A在圆上运动，把代入得：线段AB的中点M的轨迹方程是故答案为设出A和M的坐标，由中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了代入法，关键是运用中点坐标公式，是中档题16.【答案】4【解析】解：，所以故答案为：4因为，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式即可求出结果本小题主要考查均值不等式的有关知识及配方法的有关知识，以及转化与化归的思想方法解答的关键是利用平方关系建立条件与结论之间的联系17.【答案】解：，函数的周期，由，即，即函
13、数的单调递减区间为，即，得，当时，由余弦定理得，即，则三角形的面积，当且仅当时取等号，即三角形的面积的最大值为【解析】根据向量数量积的定义求出函数的解析式，结合周期公式以及单调性进行求解即可；根据条件求出C的值，结合余弦定理以及基本不等式，以及三角形的公式进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义以及辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键本题考查的公式比较多18.【答案】解：，故，故；时，故预计数学分数为120分的学生年级排名大概是198名【解析】求出x，y的平均数，求出相关系数，求出回归方程即可；代入x的值，求出y的预报值即可本题考查了求回归方程问题，考查函数求值
14、，是一道常规题19.【答案】解：由得，两式相减得，即，当时也满足，所以，解得【解析】由推出，两式相减即可得到数列的通项公式；化简，利用裂项消项法求解数列的和，然后求解m即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力20.【答案】解：当时，当时，解得：，即当时，恒成立当时，解得：，即综上，不等式的解集是若对于恒成立，即，即解得：或，实数a的取值范围是【解析】当时，可得解析式，分段去绝对值即可求不等式；根据绝对值不等式求解即可本题考查了绝对值不等式的解法，利用了零点分段去绝对值和绝对值不等式的性质的运用属于中档题21.【答案】证明：取AB中点M，连结MC，是边长为2的
15、正三角形，F是BE的中点，又，且，四边形FMCD是平行四边形，平面ABC，又，平面ABE解：连结EM，平面ABE，是CE与平面EAB所成角，是边长为2的正三角形，平面ABC，EA：AB：2：1，与平面EAB所成角的正弦值为【解析】取AB中点M，连结MC，推导出，从而，且，进而四边形FMCD是平行四边形，由平面ABC，得，从而，求出，由此能证明平面ABE连结EM，由平面ABE，得是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22.【答
16、案】解：圆化为标准式为，设圆的圆心关于直线：的对称点为，则，且的中点在直线：上，有，解得：，圆C的方程为；要使，必须使，即：当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为，与圆C：交于两点，当直线l的斜率不存在时，直线l：满足条件当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为设，由得：，由于点在圆C内部，恒成立要使，必须使，即，也就是：，即，整理得：，解得：，直线l的方程为故存在直线和，使得【解析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，解出圆心关于直线：的对称点，即可得到圆C的圆心坐标，求得圆C的标准方程；分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，直接求出直线方程，与圆的方程联立求出A，B的坐标，已知即可；当直线的斜率存在时，设出直线方程，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，代入向量垂直的坐标运算求得k，则直线方程可求本题考查直线与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，是中档题