1、课时巩固过关练(十四)用空间向量的方法解立体几何问题一、选择题1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值为()A1 B.C. D.解析：由题意知，kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，kab与2ab垂直，3(k1)2k40，解得k.答案：D2(2016四川巴中平昌中学期中)已知i，j，k是空间的一个单位正交基底，且2ik，2j，则OAB(O为坐标原点)的面积是()A. B.C5 D.解析：i，j，k是空间的一个单位正交基底，且2ik，2j(O为坐标原点)，(2,0,1)，(0,2,0)，0，OAB的面积S|2.答案：D3已知正方体ABCDA1B1C
2、1D1的棱长为a，点M在棱AC1上，点N为B1B的中点，则|MN|等于()A.a B.aC.a D.a解析：()，又，两两互相垂直，|a.故选A.答案：A4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，则()AEF至多与A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,
3、1,0)，(1，1,1)，0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.故选B.答案：B5正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离是d.答案：D6(2016四川雅安中学月考)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所
4、成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图，取BC的中点为O，连接ON，MN綊B1C1綊OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是ANO.BCCACC1，设BCCACC12，CO1，AO，AN，MB，在ANO中，由余弦定理可得cosANO.故选C.答案：C7(2016黑龙江大庆期末)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，BAC30，BC1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为()A16 B2C D32解析：如图，三棱柱ABCA1B1C1
5、中侧棱垂直于底面，设侧棱长为a，又三棱柱的底面为直角三角形，BC1，BAC30，AC，AB2，三棱柱的体积V1a3，a2，ABC的外接圆半径为AB1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，外接球的半径R2，外接球的表面积S42216.故选A.答案：A二、填空题8(2016河北衡水武邑中学期中)已知正方体ABCDABCD的棱长为1，设a，b，c，则_.解析：取CC1的中点E，连接AC，AE.因为正方体ABCDABCD的棱长为1，设a，b，c，则abc.所以|.答案：三、解答题9如图所示的多面体中，AD平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，
6、CDP120，AD3，AP5，PC2.(1)试确定点F的位置，使得EF平面PDC；(2)若BFBP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解：(1)如图，令F为线段BP的中点，取PC的中点O，连接FO，DO，F，O分别为BP，PC的中点，FO綊BC.四边形ABCD为平行四边形，ED綊BC，FO綊ED，四边形EFOD是平行四边形，EFDO.EF平面PDC，DO平面PDC，EF平面PDC.(2)以DC为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系AD平面PDC，DP平面PDC，ADDP.AD3，AP5，DP4.在PDC中，由PD4，PC2，CDP120，及余弦定理，得CD2，则D(
7、0,0,0)，C(2,0,0)，B(2,0,3)，P(2,2，0)，A(0,0,3)，设F(x，y，z)，则(x2，y，z3)，F，.设平面PBC的一个法向量n(a，b，c)，(0,0,3)，(4，2，0)，由得令b1，可得n，cos，n，直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.10(2016河北石家庄模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCBAD90，APADAB，BCt，PABPAD.(1)当t3时，试在棱PA上确定一点E，使得PC平面BDE，并求出此时的值；(2)当60时，若平面PAB平面PCD，求此时棱BC的长解：(1)解法一：连接AC，BD交于点F，在平面PCA中
8、作EFPC交PA于E，连接DE，BE.因为PC平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.因为ADBC，所以，因为EFPC，所以.解法二：在棱PA上取一点E，使得，连接AC，BD交于点F，因为ADBC，所以，所以，所以EFPC，因为PC平面BDE，EF平面BDE，所以PC平面BDE.(2)取BC上一点G，使得BG，连接DG，则四边形ABGD为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OG.因为APADAB，PABPAD60，所以PAB和PAD都是等边三角形，因此PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以OG，OB，OP两两垂直，以O为坐标原
9、点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，G(1,0,0)，C，故(1,0，1)，(0,1，1)，(0，1，1)设平面PAB的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即不妨令x11，可得m(1,1,1)为平面PAB的一个法向量设平面PCD的法向量为n(x2，y2，z2)，则即不妨令y21，可得n为平面PCD的一个法向量由mn0.解得t2，BC2.11(2016北京昌平期末)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAD为等边三角形，ABADCD，ABAD，ABCD，点M
10、是PC的中点(1)求证：MB平面PAD；(2)求二面角PBCD的余弦值；(3)在线段PB上是否存在点N，使得DN平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)取PD中点H，连接MH，AH.M为PC的中点，HMCD，HMCD.ABCD，ABCD.ABHM且ABHM.四边形ABMH为平行四边形，BMAH.BM平面PAD，AH平面PAD，BM平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO.PAPD，POAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，PO平面ABCD.取BC的中点K，连接OK，则OKAB.以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB2，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(1,4,0)，D(1,0,0)，P(0,0，)，(2,2,0)，(1,2，)平面BCD的一个法向量(0,0，)，设平面PBC的一个法向量n(x，y，z)，由得令x1，则n(1,1，)cos，n.由题图可知，二面角PBCD是锐二面角，二面角PBCD的余弦值为.(3)不存在设点N(x，y，z)，且，0,1，则，(x，y，z)(1,2，)则N(，2，)，(1,2，)若DN平面PBC，则n，即12，此方程无解，在线段PB上不存在点N，使得DN平面PBC.
