1、1郯城二中高三上学期期末考试数学试题（时间 120 分钟，满分 150 分）命题：吴超一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合2|16Ax yx，|lg(2)1Bxx，则 AB（）A(2,3B 4,4C2,4)D(2,42.已知复数 z 满足1z ii ，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知向量(1,1)a，(1,3)b ，(2,1)c，且()/abc，则 （）A3B 3C 17D174.已知直线20 xy与圆22220 xyxya有公共点，则实数 a 的取值
2、范围为（）A(,0B0,)C0,2)D(,2)5.良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级 1200 名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这 1200 名学生每天的睡眠时间(8,1)XN，则每天的睡眠时间为 56 小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（）（附：若2(,)XN ，则()0.6827PX，(22)0.9545PX，(33)0.9973PX）A20B26C51D1636.从 2 至 7 的 6 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）A 35B 23C 1115D 457.已知()yf x为奇函数
3、，(1)yf x为偶函数，若当0,1x，2()log()f xxa，则(2023)f（）A 1B0C1D28.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为 A，右焦点为 F，以 F 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线相切于第一象限内的一点 B若直线 AB 的斜率为 13，则双曲线 C 的离心率为（）A.43B.53C.54D.229.已知1tan2 ，则1 sin 2（）A.54B.54C.95D.9510.甲乙两个箱子中各装有 5 个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有 3 个红球、2 个白球，乙箱中有 2个红球、3 个白球；抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸
4、出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球.则摸到红球的概率为（）A.12B.13C.23D.1411.已知抛物线2:4C yx的焦点为 F，准线为l，点 P 在抛物线 C 上，PQ 垂直l 于点 Q，QF 与 y 轴交于点 T，O 为坐标原点，且|1OT ，则|PF （）A.1B.2C.3D.412.已知三棱锥 PABC中，AP、AB、AC 三条棱两两垂直，且长度均为3，以顶点 P 为球心，2 为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为（）A.3B.32C.5D.52二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
5、求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。13.在62xx的展开式中，下列说法正确的是（）A常数项为 160B第 4 项的二项式系数最大C第 3 项的系数最大D所有项的系数和为 6414.若正实数,a b 满足1ab，且 ab，则下列结论正确的是（）Aln()0abBbaabC2abD 114ab15.已知函数32()1f xxx，则（）A()f x 有两个极值点B()f x 有三个零点C点(0,1)是曲线()yf x的对称中心D直线 yx是曲线()yf x的切线16.若函数()2sin()1(0)6f xx在0,上恰有三个零点，则（）A 的取值范围为102,)3B(
6、)f x 在0,上恰有两个极大值点C()f x 在0,4 上有极大值点D()f x 在0,6 上单调递增3三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）已知 ABC的三个内角,A B C 的对边分别是,A B C，且 coscos2 cosbCcBaA（1）求角 A；（2）若2 3a，ABC的面积为 2 3，求bc的值18.（12 分）已知数列na满足112323(1)22nnaaanan.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列2221loglognnaa 的前 n 项和为nT，证明：34nT.19.（12 分）垃圾分类收集处理是一项利
7、国利民的社会工程和环保工程搞好垃圾分类收集处理，可为政府节省开支，为国家节约能源，减少环境污染，是建设资源节约型社会的一个重要内容为推进垃圾分类收集处理工作，A 市通过多种渠道对市民进行垃圾分类收集处理方法的宣传教育，为了解市民能否正确进行垃圾分类处理，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到如下列联表（单位人）：能正确进行垃圾分类不能正确进行垃圾分类总计55 岁及以下903012055 岁以上503080总计14060200（1）根据以上列联表，依据小概率值0.1 的独立性检验，能否据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关？（2）将频率视
8、为概率，现从 A 市 55 岁及以下的市民中里随机抽样的方法每次抽取 1 人，共抽取 3 次 记被抽取的 3 人中“不能正确进行垃圾分类”的人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量 X的分布列和均值 E(X)附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中 nabcd 0.150.100.050.025x2.0722.7063.8415.024420.（12 分）如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E 为1BB 的中点（1）求证：1/BC平面1AD E；（2）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值21.（12 分）已知椭圆2222:1(0)x
9、yCabab的离心率为63，短轴长为 2 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知 A，B 是椭圆 C 上的两个不同的动点，以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O是否存在以 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由22.（12 分）已知函数1()exf xax（1）讨论()f x 的单调性；（2）若22()4af xx对于任意0 x 恒成立，求实数 a 的取值范围学科网（北京）股份有限公司1郯城二中高三上学期期末考试数学答案一、单项选择题：题号123456789101112答案DDCABCACCABB二、多项选择题：题号13141516答案BCABDAD
10、AD三、解答题：17.解：（1）因为 bcosC+ccosB2acosA，由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB2sinAcosA，-1 分即 sin（B+C）2sinAcosA，故 sinA2sinAcosA，-3 分因为 sinA0，所以 cosA，-4 分由 A 为三角形内角得，A；-5 分（2）因为 a2，ABC 的面积为 2，所以bcsinA2，-6 分所以 bc8，-7 分由余弦定理得，a2b2+c22bccosA（b+c）22bc2bccosA（b+c）22412，-9 分故 b+c6-10 分18.（1）解：由 a1+2a2+3a3+nan（n1）2n+1+2可得：a
11、1+2a2+3a3+（n1）an1（n2）2n+2（n2），-1 分两式相减得：nan（n1）2n+1（n2）2nn2n，-3 分即 an2n，n2，-4 分又当 n1 时，有 a12 也适合上式，-5 分an2n；-6 分（2）证明：由（1）可得：（），-8分Tn（1+）-10学科网（北京）股份有限公司2分（1+）-11分（1+）-12分19.解:（1）根据以上数据，K2 的观测值 k-2分3.5712.706，-3 分依据小概率值0.1 的独立性检验，能据此推断该市能否正确进行垃圾分类处理与年龄有关.-4 分（2）由题意可得：XB（3，），-5 分P（Xk），k0，1，2，3，P（X0），
12、P（X1），P（X2），P（X3）-9分可得：随机变量 X 的分布列：X 0 1 2 3 P -10 分均值E（X）3-12 分20.（1）证明：/AB11C D，四 边形11ABC D 为平 行四边形，11/BCAD，-2 分又1BC 平面1AD E，1AD 平面1AD E，1/BC平面1AD E-4 分（2）如图建系，设正方体的棱长为 2.-5 分(0,0,0)A，1(0,0,2)A，1(0,0,2)AA，-6 分1(2,0,2)D，(0,2,1)E，1(2,0,2)AD，(0,2,1)AE，-7 分设平面1AD E 的法向量为(,)mx y z，x yz学科网（北京）股份有限公司3则10
13、0m ADm AE22020 xzyz-8 分2xzzy 令1y ，2z ，2x，(2,1,2)m.-10 分设直线1AA与平面1AD E所成角为，111|42sin|cos,|2 33|AA mAA mAAm.-12 分21.解：（1）由题意可知，-3 分解得：，-4 分椭圆 C 的方程为：-5 分（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 AB 的方程为：xmy+t，联立方程，消去 x 得：（m2+3）y2+2mty+（t26）0，-6 分线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，x1x2+y1y20，-7 分（my1+t）（my2+t）+y1y20，整理得：，-8 分把，代入上式得
14、：，整理得：，-9 分原点（0，0）到直线 AB：xmy+t 的距离 d，-10 分d2，-11 分学科网（北京）股份有限公司4存在以 O 为圆心的定圆 x2+y2恒与直线 AB 相切-12 分当直线 AB 斜率存在时，设 AB 方程为：ykxm，设1122(,),(,)A x yB xy，联 立2236ykxmxy可 得：222(31)6360kxk m xm，0，22620km，122631kmxxk，21223631mx xk-6分22221212121226()()()31mky ykxm kxmk x xkm xxmk.-7分OAOB，12120 x xy y.-8分22222366
15、03131mmkkk，整理得：22233mk，22332km-9分(0,0)O到直线 AB：0kxym的距离为：2|1mdk，222312mdk，-10 分存在以 O 为圆心的定圆 x2+y2恒与直线 AB 相切当直线 AB 斜率不存在时，6:2ABlx ，合适.-11分综上所述，存在以 O 为圆心的定圆 x2+y2恒与直线 AB 相切-12分22.解：（1）1exfxa-1分当0a 时，0fx，f x 在,上单调递增；-2分当0a 时，令 1e0 xfxa，1lnxa，当,1 lnxa 时，0fx，f x 在,1 ln a上单调递减；-3分当1 ln,xa 时，0fx，f x 在1 ln,a 上单调递增；-4分学科网（北京）股份有限公司5（2）由 224af xx，得2212e42xaaxaxx，对于任意0 x 恒成立，因此1122ee2xxaxx ，-6 分记 12exh xx ，由 1211e02xh x ，得1 2ln2x ，-7分当0,1 2ln2x时，h x 单调递减，当12 ln 2,x 时，h x 单调递增，-8 分所以 min12ln2h x，因此24ln 2a；-9 分记 12ext xx ，易 知 t x在 调 递 减，所 以 12max0et xt，-10 分所以122ea；-11 分综上，122e24ln2a-12分.
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