1、2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学试题（考试时间120分钟，试卷满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知，若，则（ ）A B. C. D. 3. 已知，则与的夹角为A. B. C. D. 4. （ ）A. B. C. D. 5. 如图所示，某登山队在山脚 处测得山顶的仰角，沿倾斜角为30的斜坡前进1000米后到达处，又测得山顶的仰角，则山高为（ ）A. 米B. 1000米C. 米D. 米6. 的值为（
2、 ）A. 1B. C. D. 27. 在中，BC边上的高等于,则A. B. C. D. 8. 南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的.若在中，则的内切圆半径的值为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9. 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中错误的是（ ）A. B. C. D. 10.
3、 对于下列四个命题，其中正确的命题有（ ）A. 任何复数的模都是非负数B. 若复数是纯虚数，则实数或-1C. ，则这些复数的对应点共圆D. 的最大值为，最小值为011. 已知，以下选项正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 下列命题中，正确的是（ ）A. 在 中，若，则B. 在中，若，则C. 在中，若，则是等腰三角形或直角三角形D. 等边边长为1，若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 如图所示，在中，是中点，设，则_（请用表示）.14. 计算 _15. 已知，求16. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能耐力性有氧运动，深受大众喜爱，
4、如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为1，均是边长为的等边三角形，设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的取值范围是_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量.在下列条件下分别求实数的值.（1）与平行；（2）与垂直18. 已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限（1）求；（2）若，在复平面上的对应点分别为，求19. 已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值20. 设均为实数，已知不共线，点满足.（1）若，求证：三点共线；（2）若三点共线，求证：.
5、21. 已知中三边所对的角为，且.（1）求角大小；（2）若为锐角三角形且，求的取值范围.22. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O圆心，且OCAB.在OC上有一座观赏亭Q，其中AQC，.计划在上再建一座观赏亭P，记POB.（1）当时，求OPQ的大小；（2）当OPQ越大时，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角的正弦值答案1-8 AABDB CDD 9.AC 10.AC 11.BCD 12.ACD13. 14. 15. 16. 17.（1）解：由题意，向量，可得，因为与平行，可得，解得.（2）解：由题意，向量，可得，因为与垂直，可得，解得.18.（1
6、）因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，有，因的虚部为2，即，解得，所以.（2）由(1)知，则点，因此，所以.19. 解：（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，20.（1）依题意均为实数， 不共线，点满足，若，则，所以三点共线.（2）若三点共线，存在实数，使,即,，所以，两式相加并化简得.21.（1）依题意，即，所以为锐角，且.（2）依题意，为锐角三角形且，由正弦定理得，所以,所以，由于，所以，解得，所以，所以的取值范围是.22. （1）设OPQ，在POQ中，用正弦定理可得含，的关系式因为AQC，所以AQO.又OAOB3，所以OQ 在OPQ中，OQ，OP3，POQ，设OPQ，则PQO.由正弦定理，得，即sincos() 展开并整理，得tan，其中. 此时当时，tan.因为(0，)，所以.故当时，OPQ. （2）设f()，.则f().令f()0，得sin，记锐角0满足，则，即 列表如下：(0，0)0f()0f()单调递增单调递减由上表可知，f(0)是极大值，也是最大值由（1）可知tanf()0，则， tan单调递增则当tan取最大值时，也取得最大值故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sin.
