1、山东省潍坊市第七中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.，下列命题正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【解析】当，则，则，故错误；当时，必有，则可得，故正确；令，则，满足，但，故错误；令，则，但，故错误，故选B.2. 点（3,1）和点（-4,6）在直线两侧，则的范围是（ ）A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B【解析】试题分析：因为点（3，1）和点（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，所以，（33-21+a）
2、3（-4）-26+a0，即：（a+7）（a-24）0，解得-7a24故选B考点：本题主要考查了二元一次不等式所表示的区域的运用。点评：准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键。规律是：点在直线的同侧，代入后函数值同号，点在直线的一侧，代入后函数值异号。3. 在等差数列中，公差，若，则的值为（ ）A. 37 B. 38 C. 19 D. 36【答案】A【解析】为等差数列，首项，又公差，故选A.4. 几何原本卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下
3、图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】是半圆的半径，为圆的直径，由射影定理可知，在中，当 与重合时，所以，故选D.5. 的内角，的对边分别为，.若，成等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意，即，所以 考点：等比数列的性质，余弦定理6. 若实数，满足，则的最小值为（ ）A. -7 B. -3 C. 1 D. 9【答案】A【解析】由约束条件作出可行域,如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最小值为，故选A.7.
4、已知各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为（ ）A. 1 B. 8 C. D. 4【答案】B【解析】与的等比中项为，的最小值为8. 选B.8. 在中，内角，的对边分别为，若，则的面积为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】C【解析】由余弦定理可知：，即，故选C.9. 若关于的不等式在区间（1,4）内有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：不等式在区间内有解等价于，令，所以，所以.考点：1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.10. 在中，角，的对边分别为，表示的面积，若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由正
5、弦定理可知，即，为等腰直角三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用正弦定理、两角和的正弦公式及三角形面积公式判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.11. 定义为个正数，的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知定义，得到，即，当时，当时，当时也成立，故选C.12. 已知，则的最小值为
6、（ ）A. B. 4 C. D. 【答案】D【解析】因，故，又因为，所以，当且仅当，即取等号，应选答案D。点睛：解答本题的关键是变形，也是解答这个问题的难点所在。通过这一巧妙变形从而将原式化为，然后巧妙运用分组组合，借助基本不等式求出其最小值为。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，内角，的对边分别为，,则角的值是_【答案】【解析】由正弦定理可得：，由大边对大角可得：解得，故答案为.14. 已知在等比数列中，各项均为正数，且，则_（填数值）【答案】1023【解析】等比数列中，+q6=0，q=2，q=3(舍去).点睛：求解等比数列通项公式时，一般方法
7、是确定首项和公比，通过题中所给条件利用基本量列方程求解即可，等比数列的通项公式.,公比不为1时，,公比为1时，数列为常数列.15. 对于使成立的所以常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为 _【答案】【解析】正数且，则 ，当且仅当时，即时取等号，故则的上确界为，故答案为. 16. 给出下列命题：中角，的对边分别为，若，则；，若，则；若，则；设等差数列的前项和为，若，则.其中正确命名的序号是_【答案】【解析】中，函数在上单调递减，所以正确；函数在上单调递增，若，则，所以正确；符号不确定的时候，的正负不确定，所以不正确；等差数列的前项和为，若，则，则，即，则，所以正确，故答案为
8、.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知，分别是中角，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理转化，得，求出的值即可得出的值；（2）由正弦定理化简，得,再由和的值，利用余弦定理得到关于方程组，求出的值，即可求出的面积.试题解析：（1）由及正弦定理，得，所以，又，故.（2）由及，得.由及余弦定理，得.所以，.故.18. 等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足且，且数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(I) 设等差数
9、列的公差为，根据题意列方程求解即可；(II)，由，求出进而得，裂项求和即可.试题解析：（）设等差数列的公差为， ，解得 （），当时， 当时，适合上式，所以 .19. 已知函数.(1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）对讨论，时不合题意；合题意；，利用判别式小于解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式化为，再对参数的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.试题解析：（1）当时，恒成立；当时，要使对任意实数，恒成立，需满足，解得，故实数的取值范围为.（2）由不等式得，即.方程的两根是
10、，.当时， ，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式无解；当时，不等式的解为.【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.20. 在中，角，的对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求边的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解
11、析】试题分析：（1）由利用正弦定理化简可得，即，从而可求角的大小；（2）由即，根据余弦定理可得，利用二次函数配方法求解即可.试题解析：（1）由已知得：，由正弦定理，得，则，即，又，则.（2），即，由余弦定理得：，即，由，得，.21. 某科研小组研究发现：一棵水果树的产量(单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系: .此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）.(1)求的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答
12、案】(1)详见解析;(2) 当投入肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润为4300元.试题解析：（1） （2）当 当 当且仅当时，即时等号成立答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.22. 已知数列的前项和为，点在函数图像上；(1)证明是等差数列；(2)若函数，数列满足，记，求数列前项和；(3)是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数，若不存在，说明理由.【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) .【解析】试题分析：（1）由点在函数上可得，利用公式即可得结果；（2），结合（1）可得，利用错位相减法可得结果；（3）对任意恒成立，等价于任意恒成立，求出的最小项 ，令,解不等式即可的结果.试题解析：（1）由题意，当时，时，当时，也适合上式数列的通项公式为，；是等差数列.（2）函数，数列满足，又，-得：，.（3）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即任意恒成立，是递增数列，所以只要，即，解得或.所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立.