1、课时作业4函数的单调性与最值一、选择题1(2014北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3Cylnx Dy|x|解析：分别画出四个函数的图象，如图：因为对数函数ylnx的定义域不是R，故首先排除选项C；因为指数函数yex，即yx，在定义域内单调递减，故排除选项A；对于函数y|x|，当x(，0)时，函数变为yx，在其定义域内单调递减，因此排除选项D；而函数yx3在定义域R上为增函数故选B.答案：B2(2015宁夏月考)下列函数中，在(1,1)内有零点且单调递增的是()Aylogx By2x1Cyx2 Dyx3解析：观察四个选项，在(1,1)内单调递增的只有函数y2x1且其
2、在(1,1)内也有零点故选B.答案：B3函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是()A. B.C. D.解析：函数f(x)的定义域是(1,4)，u(x)x23x42的减区间为，e1，函数f(x)的单调减区间为.答案：D4函数f(x)(xR)的图象如下图所示，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是()A.B(，0)C，1D，解析：ylogax(0a1)为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当0logax，即x1时，g(x)为减函数，故其单调减区间为，1答案：C5已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为()A(1,2) B(2,3)C(2,3 D(
3、2，)解析：要保证函数f(x)在(，)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增若f(x)(a2)x1在区间(，1上单调递增，则a20，即a2.若f(x)logax在区间(1，)上单调递增，则a1.另外，要保证函数f(x)在(，)上单调递增还必须满足(a2)11loga10，即a3.故实数a的取值范围为2a3.答案：C6(2014安徽卷)若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或8解析：当a2时，f(x)则f(x)的图象如图1所示，故当x时，f(x)minf13，解得a8；图1图2当a2时，f(x)则f(x)的图象如图2所示，
4、故当x时，f(x)minf13，解得a4；综上可知，答案为D.答案：D二、填空题7已知yf(x)是定义在(2,2)上的增函数，若f(m1)f(12m)，则m的取值范围是_解析：依题意，原不等式等价于m.答案：8已知下列四个命题：若f(x)为减函数，则f(x)为增函数；若f(x)为增函数，则函数g(x)在其定义域内为减函数；若f(x)与g(x)均为(a，b)上的增函数，则f(x)g(x)也是区间(a，b)上的增函数；若f(x)与g(x)在(a，b)上分别是递增与递减函数，且g(x)0，则在(a，b)上是递增函数其中正确命题的序号是_解析：正确；不正确，可用yx(x0)说明，若f(x)恒大于零(或
5、若f(x)恒小于零)，则命题成立；不正确，可用yx(x0)与y(x0)说明；不正确，可用yx(x0)与yx(x0)说明答案：9已知函数f(x)若f(6a2)f(5a)，则实数a的取值范围是_解析：当x2时，f1(x)x24x10是单调递增函数；当x2时，f2(x)log3(x1)6也是单调递增函数，且f1(2)2242106，f2(2)log3(21)66，即f1(2)f2(2)，因此f(x)在R上单调递增，又因为f(6a2)f(5a)，所以6a25a，解得6a1.答案：6a1三、解答题10(2015江西师大附中测试)已知函数ylg(34xx2)的定义域为M，(1)求M；(2)当xM时，求f(
6、x)a2x234x(a3)的最小值解析：(1)依题意，有解得M1,1)(2)f(x)a2x234x32a2，又2x2，a3，2.若，即a时，f(x)minf(1)2a，若2，即3a时，则2xa，即xlog2时，f(x)mina2.11已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x1)f(x)时x的取值范围解析：(1)当a0，b0时，任意x1，x2R，令x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)，2x12x2，a0a(2x12x2)0，3x13x2，b0b(3x13x2)0，f(x1)f(x2)
7、0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数(2)f(x1)f(x)a2x2b3x0，当a0，b0时，x，则xlog1.5；当a0，b0时，x，则xlog1.5.12已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析：(1)证明：方法一：函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数方法二：设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)由(1)得f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.