1、1第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲五年级暑假分数加减五年级暑假比和比例五年级秋季循环小数五年级秋季定义新运算进阶五年级春季分数四则混合运算循环小数化分数的法则；错位相减法；分数与循环小数的互化漫画释义知识站牌第二讲循环小数2第 9 级下超常体系 教师版在前面的章节中，同学们已经对分数和小数的计数有了一定的认识，也学习了分数和小数的加减乘除运算.在计算的过程中，相信大家一定碰到除不尽的情况，比如计算 19，结果如果用小数表示，我们会发现商在 0 和小数点之后一直出现 1，怎么也计算不完；再比如在计算 17 的时候，我们会发现商在 0 和小数点之后不停地出现 142857，像这样，从某一位数
2、起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数.今天我们就一起来学习循环小数.1、分数转化成循环小数的判断方法；2、熟练掌握循环小数化分数的法则；3、掌握循环小数的四则运算.一、分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数.一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数.二、循环小数化分数推导以下算式10.19；1240.129933；123410.123999333；12340.12349999；121110.129090；
3、12312370.123900300；123412311110.123490009000；1234126110.123499004950；123411370.123499901110以 0.1234为例，推导 1234126110.123499004950设 0.1234A，将等式两边都乘以 100，得：10012.34A；再将原等式两边都乘以 100，得：100001234.34A，两式相减得：10000100123412AA，所以12341261199004950A经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成
4、的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧0.9aa；0.99abab；10.09910990ababab；0.990abcaabc1.计算：74998513137499851313【分析】119，1，13，3132.计算：33510576123351057612【分析】910，1712，310，143.计算：24354739【分析】815，2827，4.计算：24354739【分析】56，127模块 1：例 1-2，分数与循环小数互化例 1：分数
5、化小数例 2：循环小数化分数模块 2：例 3：循环小数四则混合运算模块 3：例 4-8 循环小数的相关问题知识点回顾例题思路4第 9 级下超常体系 教师版例 4：循环小数化分数后的约分问题例 5：循环小数的误看问题例 6：循环小数的周期问题例 7：循环小数的构造问题例 8：循环小数的计数问题（1）将下列分数化成有限小数3_4 21_24 1_16 6_15 9_25 1_125 27_90 53_100 147_1000 观察分母，有什么特点（提示：从分母的质因数去考虑）（2）将下列分数化成循环小数1_3 10_45 2_11 1_6 4_30 3_70 观察分母，有什么特点（提示：从分母的质
6、因数去考虑）总结：当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有_或_,分数可化为有限小数；当分数为最简分数时，分母的质因数中只含有_,分数可化为纯循环小数；当分数为最简分数时，分母的质因数中既有_，又有_,分数可化为混循环小数.(学案对应：超常 1，带号 1)【分析】（1）0.750.8750.06250.40.360.0080.30.530.147当分数化成最简分数后，分母的质因数只有 2 或 5（2）0.30.20.180.160.130.0428571当分数化成最简分数后，分母的质因数中有除 2 和 5 外的其他质因数.总结：2,5；除去 2 和 5 的其它质数；2 或 5，其它质因数.（1
7、）将下列纯循环小数化分数0.10.240.4074.38610.9（2）将下列混循环小数化分数0.51 0.409 0.29542.76120.09【分析】（1）1983311273941011例 2例 15第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲（2）234592213441692 222110（1）计算 0.43 0.52 0.1 0.23 0.21 0.3470.1 0.80.8 0.2 0.2 0.01（2）计算4.3 2.4 1.24 0.3（3）计算 110.15 0.2180.3111 2.234 0.9811(学案对应：超常 2，带号 2)【分析】（1）循环小数做加减法时，可以列
8、竖式找规律0.950.340.55946810.60.21（2）循环小数做乘除法时，将循环小数化成分数计算1413222864.3 2.44210.592393927 81411.24 0.313.7233311（3）原式1512182311909909111371111123456790.01234567999311181999999999(用到了我们熟知的123456799111111111)23422322.23422990990，980.9899，所以 23298242222.234 0.982119909999090，22122.234 0.98111110.09 0.020.113
9、901190例 36第 9 级下超常体系 教师版一个循环小数0.ABC，化成最简分数后，分子和分母的和为 35，求这个最简分数是多少？【分析】设这个最简分数为 nm，根据题意有0.999ABCnABCm，且35mn（mn），所以 m为 999 的因数，且3517m，可得 m=27，所以 n=8.这个最简分数为 827.某学生将1.23 乘以一个数 a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少 0.3.则正确结果应该是多少？【分析】1.23 1.230.003,即0.3300.0030.3900.0030.3aa,因此，正确结果为：1.23 90+0.3111神奇的 142857“1
10、42857”，又名走马灯数。它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有 7天，它自我累加一次，就由它的 6 个数字，依顺序轮值一次，到了第 7 天，它们就放假，由999999 去代班，数越加越大，每一星期一轮回，你不需要计算机，只要知道变化规律，就可以知道继续累加的答案：1428571=142857（原数）1428572=285714（轮值）1428573=428571（轮值）1428574=571428（轮值）1428575=714285（轮值）1428576=857142（轮值）1428577=999999（放假由 9 代班）神奇之处：1、横竖都有 142857 没有 0369
11、,有点像“独数”不过是没有 0369 的独数。2、乘以 7 我们得到 999999,9+9+9+9+9+9=54（5+4=9）3、142+857=999,14+28+57=99,1+4+2+8+5+7=27（2+7=9）神奇吧？它还有更神奇的地方等待你去发掘！如果你还发现了其它的神秘，请与大家分享！例 4例 57第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲已知：10.1428577，20.2857147，30.4285717，40.5714287，50.7142857，60.8571427你可以通过下图来顺时针记忆这些数.通过上面的阅读，请回答下面的题：（1）将 17 化成小数后，小数点后第 100
12、 位上的数字是_.（2）将 17 化成小数后，小数点后前 100 位的数字和是_.（3）真分数 7a 化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续 182 个数字之和为 820，那么_a.（4）真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位开始连续若干个数字之和为 2013，那么_a.(学案对应：超常 3，带号 3，带号 4)【分析】（1）17 化成小数后，循环节为 142857，重复出现，可以将其看成是周期问题，一共 100个数字，每 6 个数字为一个周期，1006=164，经过 16 个周期后，最后剩下 4 个数，1,4,2,8，所以最后一位是 8（2）由上题意可知，100 位数，包含了 16
13、个周期，最后剩下 4 个数，所以这 100 个数字之和为27 16+1+4+2+8=447.（3）因为这个分数分母为 7，所以化成小数后，循环节是 6 位，循环节上的 6 个数字必然包含了:1,4,2,8,5,7,所以 6 个数为一个周期，1826=302，一共有 30 个周期，一个周期的和为 27，所以数字和为：2730=810，剩下两个数字的和为 10，这两个数是 2 和 8，那么它的周期是从 2 开始的，原分数是 27，2a（4）7a 循环节的特殊性：分母为 7 的最简分数，循环节都是 1,4,2,8,5,7 这 6 个数的不同排列.每个循环节 6 个数的数字和为 27.20132774
14、15，于是，循环节的前若干位数字和为 15.那么有120.142857,142815;0.285714,28515.77所以 a=1 或 2.我们把只由数字 0 和 7 组成的小数叫做“特殊数”，例如7.07、77.007 都是“特殊数”.如果我们将 1 写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？(学案对应：超常 4)例 7例 68第 9 级下超常体系 教师版【分析】假设这个等式两边一边是 1，另外一边是全由 0 和 7 组成的数，那么等式两边同时除以 7就变成另外一个等式，其中等式的左边是 17，等式的右边全是由 0 和 1 组成的数，于是这道题目就变成用全由 0 和 1 组成的数，相加得到0
15、.142857，显然需要至少八个这样的数，例如0.1428570.1 0.011111 0.010111 0.010111 0.000111 0.000101 0.000101 0.000100（1）一个分数 1n 是一个循环小数，循环节有 1 位，求所有的满足要求的 n 有几个？（2）一个分数 1n 是一个循环小数，循环节有 2 位，求所有的满足要求的 n 有几个？（3）一个分数 1n 是一个循环小数，循环节有 3 位，求所有的满足要求的 n 有几个？（4）一个分数 1n 是一个循环小数，循环节有 6 位，求所有的满足要求的 n 有几个？【分析】(1)因为循环节就一位，所以 n 为 9 的因
16、数，9 的因数有 1（舍）,3,9，所以 n 有 2 种;(2)因为循环节必须是两位，所以 n 为 99 的因数，但是不能是 9 的因数，99 的因数有 6 个，所以 n 有 3 个，分别是 11,33,99;(3)因为循环节必须是三位，所以 n 为 999 的因数，但是不能是 9 的因数，999 的因数有 8个，所以 n 有 5 个，分别是 27,37,111,333,999;(4)因为循环节必须是六位，所以 n 为 999999 的因数，但是不能是 99 的因数，也不能是 999的因数，999999 的因数有 64 个，999 的因数有 8 个，99 的因数有 6 个，9 的因数有 3 个
17、，根据容斥原理，符合要求的 n 有6486353个.1.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数用 0 到6 这 7 个数字和 5 个点（可以作为小数点或表示循环小数的点）组成几个数，让它们的和等于 9.（答案不唯一）答案：可以组成 0.5、2.1和 6.34.（答案不唯一）例 8知识点总结9第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个 9，其中 n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分母，其中 9 在 0 的左侧0.9aa；0.99abab；10.09910990ab
18、abab；0.990abcaabc2.循环小数加减法可以用竖式找规律3.循环小数乘除法要先化成分数再计算1(1)如果 a 是小于 20 的质数，且 1a 可以化为一个循环小数，那么 a 的取值有哪几个？(2)如果 a 是小于 20 的合数，且 1a 可以化为一个循环小数，那么 a 的取值有哪几个？【分析】(1)小于 20 的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，且 1a 可以化为一个循环小数：筛选去掉 2，5，那么 a 的取值有 3，7，11，13，17，19(2)小于 20 的合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，且 1a 可以化为一个循环小数：筛选去掉 4，
19、8，10，16，那么 a 的取值有 6，9，12，14，15，18.2.将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 100 位的数字：24162523471327741【分析】2410.28571420.307692713，162530.59240.33782774=按照周期的知识可以得出他们各自小数点后第 100 位的数字分别是 7,6,5 和 8.3.计算：0.910.820.730.640.10.20.30.40.50.6【分析】0.910.820.730.640.10.20.30.40.50.60.80.60.40.20.10.20.30.40.10.20.30.40.50.62100.
20、121 0.1211 0.1290.120.1120.10.7 4.请将算式0.1 0.01 0.001的结果写成最简分数【分析】原式11110010111137990900900900300.5.0.30.030.0032009（）家庭作业10第 9 级下超常体系 教师版【分析】.10.30.030.0030.33，所以括号中填 2009360276.纯循环小数0.ABC 写成最简分数时，分子与分母之和是 58，请你写出这个循环小数.【分析】30.999337ABCABCABC 化简后的分母一定是现在的分母的因数而且小于 58 大于 29，所以只可能是 37，所以化简后的分数应该是 2137
21、，所以这个循环小数是215670.56737999.7.给小数 0.7082169453 添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数.已知小数点后第 100 位上的数字是 5，求这个循环小数.【分析】第 100 位数字是 5，则第 101 位数字是 3.去掉前 10 位，后面第 11 位到第 101 位这 91 个数构成了若干完整的循环节.917 13，循环节的位数不大于 10，于是循环节为 7 位.应在“2”和“3”上加圆点.8.真分数 7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1000，那么 a是多少？【分析】7a 循环节的特殊性：分母为 7 的最简分数，循环节都
22、是 1,4,2,8,5,7 这 6 个数的不同排列.每个循环节 6 个数的数字和为 27.100027371，于是，循环节的前若干位数字和为 1.那么仅有 10.1428577 .【超常班学案 1】从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中随意取出两个数字，一个作分子，一个作分母，组成一个分数，在组成的所有分数中，能够化成循环小数有多少个？【分析】当分母是 3,6,7,9 时，这个分数是循环小数，当分母为 3 时，分子可以是 1,2,4,5,7,8，共有 6 个；当分母为 6 时，分子可以是 1,2,4,5,7,8，共有 6 个；当分母为 9 时，分子可以是 1,2,3,4,5,6,7,8，共
23、有 8 个；当分母为 7 时，分子可以是 1,2,3,4,5,6,8,9，共有 8 个；所以一共有 28 个.【超常班学案 2】（1）224191.1.27（2）0.6 70.27 40.12_【分析】（1）原式224191112319201199927999279超常班学案11第 9 级下 超常体系教师版第 2 讲（2）原式=23111412111901119743119031190339027【超常班学案 3】将循环小数0.081与0.200836 相乘，小数点后第 2008 位是.【分析】30.08137，2008360.200836999999，所以乘积为3200836162840.0
24、1628437999999999999，200863344，所以第 2008位是 2.【超常班学案 4】将小数 0.987654321 改为循环小数.如果小数点后的第 2013 位上的数字是 5，那么表示循环节的两个点应分别加在数字 _和_的上面.【分析】法 1：因为是循环小数，所以有一个循环点必然在 1 的上面，另一个循环点必须出现在 5或者是 5 左面的数字上面，下面根据循环点的位置开始分类讨论：若0.987654321，20139=2236，那么小数点后第 2013 位上的数字为 4（舍）；若0.987654321，2013 18=2514，那么小数点后第 2013 位上的数字为 5；经
25、试验，循环点在 7,6,5 的上面时，末位的数字都不是 5，所以有唯一解，两个循环点分别在 1 和 8 的上面.法 2：因为是循环小数，所以有一个循环点必然在 1 的上面，那么这个循环节的末位是 1，若小数点后的 2013 位上的数字是 5，不管循环节是多少数位，1 必然在第 2017 位上.现在，将小数点后的这 2017 位数，去掉最前面的 123456789 这 9 位，剩下 2008 个数位，刚好包含了整数个循环节，那么循环节的位数，一定是 2008 的因数，同时也必须不小于 5，不大于 9，那么 2008 的因数中符合题意的只有一个 8，所以它的循环节是 8 位，小数点在 8 的上面.
26、【超常 123 班学案 1】1 1 1 1112 3 4 599 100，当中有多少个纯循环小数，多少个混循环小数.【分析】分母仅有 2，5 以外的因数才产生纯循环小数，计算分母中含有 2，5 的分数数量：含 2，因数-100 2=50 个含 5，因数-100 5=20 个同时含 2，5，因数-100 10=10 个实际数量：50+20-10=60 个纯循环小数的数量：99-60=39 个.接下来为了计算混循环小数的数量只要算出有限小数的个数就可以了，分母仅有 2，5 因数才产生有限小数，那么可以寻找一下，只含有 2 的有 1 1 1 1112 4 8 16 32 64，共 6 个，含有一个
27、5的有 1 11115 10 20 40 80，共 5 个，含有两个 5 的有 11125 50 100，共 3 个，一共 14 个，那么循环小数一共有 99-14=85 个，纯循环小数有 39 个，那么混循环小数一共有 85-39=46 个.123 班学案12第 9 级下超常体系 教师版【超常 123 班学案 2】计算下列各题：10.610.610.60.6（1）（2）10.1810.180.18【分析】12121210.612121263330.612123333130.623320.63（1）23988117205344132132132 121212222 12522 114922 0
28、.1812121111111112511 125125 1113750.182111120.1811（）【超常 123 班学案 3】20022009 和 1287 化成循环小数后第 100 位上的数字之和是_.【分析】如果将 20022009 和 1287 转化成循环小数后再去计算第 100 位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们发现 2002112009287，而10.9，则第100位上的数字和为9.【超常 123 班学案 4】已知真分数 13a 化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为 1999，求a 的值.【分析】由于 113=0.076923076923.，是以 076923 为循环节的无限循环小数，每个循环节之和：0+7+6+9+2+3=27，且 a=112，13a 都是无限循环小数，它们的每个循环节之和都是 27.由1199927=74 27，即 74 个循环节之和是 7427=1998，再设法找到一个含有以 1 为首的循环节的小数即可，可知 113 的循环节是 076923，则 213的循环节就是 0769232153846，刚好以 1 为首.所以 a=2 即为所求.
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