1、第十二单元 推理与证明知识框架 第十二单元 知识框架 考纲要求 第十二单元 考纲要求 1合情推理与演绎推理 (1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用 (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 第十二单元 考纲要求 2直接证明与间接证明 (1)了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点 (2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点 3数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 命
2、题趋势 本单元既有新课标高考独有的内容，也有大纲版中的传统内容，新增内容已成为近几年新课标高考的必考内容，高考对本单元的考查有如下特点：1对推理与证明的考查，高考试题中已经出现过专门考查归纳推理和类比推理的试题，也出现过专门指明用反证法证明的试题，随着新课标高考的深入发展，推理与证明的考查会更加科学合理，特别在合情推理方面一定会有新的试题出现在高考试卷中 第十二单元 命题趋势 第十二单元 考纲要求 2新课标高考对于数学归纳法的考查不多，试题从来没 有以选择题、填空题的形式单独考查过，对数学归纳法的考查有时渗透在解答题特别是数列解答题中，一般比较隐蔽，难度也较大 预计2012高考将会以合情推理这
3、部分内容为切入点，加强对学生逆向思维能力和创新能力的考查，试题可能会以新定义或信息迁移题的形式出现 使用建议 1编写意图 本单元是考查学生推理创新能力的重要载体，难易度不易把握.以教材为根本，以考试大纲为准绳，在编写过程中突出了以下两个特点：(1)把握基本题型对各种基本题型进行了详细简述，目的是帮助学生构建知识体系，能针对不同的推理与证明题型灵活选择相应的方法 第十二单元 使用建议 (2)体现新课标理念编写过程中尽量体现以学生为主体，在试题的选择上，以便于学生自主学习，自主探究为出发点，培养学生的创新能力比如合情推理这一知识点，为创新性试题的命制提供了较好的空间，对于这部分试题的选取都体现了新
4、颖性 第十二单元 使用建议 2教学指导 尽管本单元内容突出了对学生推理与创新能力的考查，但教学中仍然要以掌握基础知识、基本方法为出发点，切不可盲目加大难度本单元是培养学生良好思维习惯，学习和运用数学思想方法，形成数学能力的重要一环要站在数学思想方法的高度，对多年来所学习的数学知识和数学方法做较为系统的梳理和提升务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识要重视对合情推理的训练，加强合情推理与演绎推理的综合运用 第十二单元 使用建议 3课时安排 本单元包含3讲和1个单元能力训练卷，建议每讲1课时，单元能力训练卷1课时，本单元共需4课时 第十二单元 使用建议 第67讲 合情推理和演绎推理
5、 第67讲 合情推理和演绎推理 知识梳理 第67讲 知识梳理 1推理的概念 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做_，一部分是由已知推出的判断，叫_ 前提结论第67讲 知识梳理 2合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理合情推理可分为_和_两类 (1)归纳推理：由某类事物的_具有某些特征，推出该类事物的_具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫归纳推理简言之，归纳推理是由_到_、由_到_的推理 归纳推理类比推理部分对象 全部对象部分整
6、体个别一般 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理简言之，类比推理是由_到_的推理 3演绎推理 从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由_到_的推理 第67讲 知识梳理 特殊特殊 一般特殊要点探究 探究点1 归纳推理第67讲 要点探究 例 1 2009浙江卷 观察下列等式：C15C55232，C19C59C992723，C113C513C913C131321125，C117C517C917C1317C171721527，由以上等式推测到一个一般的结论
7、：对于 nN*，C14n1C54n1C94n1C4n14n1_.思路 右边由两项构成，第二项前有(1)n，再对上标数字变化情况进行归纳分析，发现规律，得出结论 第67讲 要点探究【答案】24n1(1)n22n1 第67讲 要点探究 解析 给出的一系列等式中，右边为两项 2s，形式是加减轮换的规律，其中第一个 2s 的指数由3,7,11，4n1 构成，第二个 2s 的指数由1,3,5,7，2n1 构成由此可归纳为第二项前有(1)n，两项指数分别为 24n1,22n1，所以对于 nN*，C14n1C54n1C94n1C4n14n124n1(1)n22n1.第67讲 要点探究 点评 应用归纳推理解题
8、时：一是要通过观察个别情况发现某些相同的性质；二是要从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)第67讲 要点探究 2010福建卷 观察下列等式：cos2 2cos2 1；cos4 8cos4 8cos2 1；cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1；cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1；cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1.可以推测，mnp_.第67讲 要点探究 思路 观察cos 的最高次的系数2,8,32,128，可得出m1284512；进一步分析各项系数的特点与关系或利用赋值
9、法列方程组，通过解方程组确定n，p的值 答案 962 第67讲 要点探究 解析 方法一：观察等式可知，cos 的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，所以m1284512.(1)进一步观察，可得每一个式子右边所有系数之和为1，即有m12801120np11，整理，得mnp162.(2)再仔细观察可以发现，每一个式子右边cos2 的系数分别为212，824,1836，3248，则p51050.(3)由上述(1)(2)(3)可得n400，故mnp962.第67讲 要点探究 方 法 二：观 察 等 式 可 知，cos的 最 高 次 的 系 数2,8,32,128 构成了公比为 4
10、 的等比数列，所以 m1284512.取 0，则 cos 1，cos10 1，代入等式，得 1m12801120np1，即 np350.(1)取 3，则 cos 12，cos10 12，代入等式，得 12m121012801281120126n124p1221，即 n4p200.(2)联立(1)(2)，得 n400，p50，所以 mnp962.探究点2 类比推理 第67讲 要点探究 例 2 2010济南模拟 先阅读下面的文字：“求1 1 1 的 值 时，采 用 了 如 下 方 法：令1 1 1x，则有 x 1x，两边同时平方，得 1xx2，解得 x1 52(负值已舍去)”可用类比的方法，求得
11、1121112的值等于_ 第67讲 要点探究 思路 令所求值为 x，根据代数式的结构特点，列出关于x 的方程，通过解方程求出 x 的值 答案 1 32 第67讲 要点探究 解析 由 x11211121 121x，得 2x22x10，于是 x1 32(负值应舍去)，故填1 32.第67讲 要点探究 点评(1)一般地，类比对象的确定可以从以下两个方面来思考：从形式上去思考，如由条件的相似去类比结论的相似，由命题结论的相似类比推理方法的相似从内容上去思考，形与形类比，数与数类比，数与形类比，式与式类比，数与式类比，运算类比，低维与高维类比，有限与无限类比，抽象与具体类比 (2)几何中的类比猜想比较广
12、泛，常常将三维空间中的对象与二维平面中的对象进行类比；二维平面中的对象与一维中的对象进行类比如：点与线类比，线与面类比，面与体类比，平面角与空间角类比等 第67讲 要点探究 (3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等；找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 探究点3 演绎推理 第67讲 要点探究 例 3 已知梯形 ABCD 中，ABDCAD，AC 和 BD 是它的对角线证明：CA 平分BCD，BD 平分CBA.第67
13、讲 要点探究 解答 因为在梯形 ABCD 中，ADBC，所以BCACAD.又在CAD 中，DADC，所以DCACAD.所以BCADCA，所以 CA 平分BCD.同理 BD 平分CBA.第67讲 要点探究 规律总结 第67讲 规律总结 1归纳推理 归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；(2)提出带有规律性的结论，即猜想；(3)检验猜想 第67讲 规律总结 2类比推理 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征，其一般的步骤是：(1)找出两类对象之间可以确切表达的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推断另一类对象的性质，从而得到一个猜想；(3)验证猜想 第67讲 规律总结 3合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳推理是由特殊到一般的推理；(2)类比推理是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，是证明数学问题的基本推理形式