1、第66讲 复数的概念与运算 第66讲 复数的概念与运算 1复数的有关概念(1)复数的定义：形如 abi(a，bR)的数叫复数，其中 i叫做虚数单位，满足 i21，a 叫复数的_，b 叫复数的_全体复数所成的集合叫做_，用字母 C 表示(2)复数的分类：对于复数 abi(a，bR)，当且仅当_时，复数 abi(a，bR)是实数；当_时，复数 zabi叫做虚数；当 a0 且 b0 时，z_叫做纯虚数(3)相等的复数：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 a，b，c，dR，那么abicdi_.(4)共轭复数：如果两个复数的_，而虚部互为_，则这两个复数互为共轭复
2、数，即复数 zabi(a，bR)的共轭复数为 z _.知识梳理 第66讲 知识梳理 实部虚部 复数集b0 b0 bi ac，bd实部相等相反数abi第66讲 知识梳理 2复数的四则运算(1)in 的周期性：i1i，i21，i3i，i41；i4n1_，i4n2_，i4n3_，i4n_.(nZ)(2)复数和的运算法则：z1z2(abi)(cdi)_.(3)复数差的运算法则：z1z2(abi)(cdi)_.(4)复数乘法运算规则：设 z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbciadibdi2_.(5)复数除法运算法则：满足(cdi)(xyi)a
3、bi 的复数 xyi(x、yR)叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(abi)(cdi)或者abicdi.i 1 i 1(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i 3复数的几何意义(1)复平面的概念：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 做 复 平 面，在 复 平 面 内，x 轴 叫 做 _，y 轴 叫 做_，x 轴的单位是 1，y 轴的单位是 i.显然，实轴上的点都表示_；除原点以外，虚轴上的点都表示_(2)复数的几何意义：复数 zabi(a，bR)一一对应复平面内的点 Z(a，b)一一对应平面向量OZ.第66讲 知识梳理 实轴虚轴实数纯虚数要点探究 探究点1 复
4、数的有关概念第66讲 要点探究 例 1 下面四个命题：(1)i比i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；(3)xyi1i的充要条件为xy1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是()A0 B1 C2 D3 第66讲 要点探究 思路 抓住基本概念，以概念为辨析的依据 答案 A 解析(1)虚数是不能比较大小的；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应没有一个命题是正确的，故选A.第66讲 要点探究
5、 点评 准确作出判断的前提条件是能正确理解复数中的有关概念，要能分清实数与虚数性质的异同，设复数zabi时，一定要注明a，bR，否则就不能运用复数相等的充要条件 第66讲 要点探究 例 2 当 m_时，复数 zm2m6m3(m22m15)i 是纯虚数 思路 正确理解复数的相关概念要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.答案 3或2 第66讲 要点探究 点评 解决与复数基本概念相关问题的基本思想是利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识要有较完整的认识，以及能利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 解析 z为纯虚数 m22m150，m2m60，m30m3
6、或 m2.探究点2 复数的运算第66讲 要点探究 例 3 2010辽宁卷 设 a，b 为实数，若复数12iabi1i，则()Aa32，b12 Ba3，b1 Ca12，b32 Da1，b3 第66讲 要点探究 思路 利用复数的四则运算法则和i的性质进行运算，注意分母实数化的转化技巧 答案 A 第66讲 要点探究 解析 方法一：由12iabi1i 可得 12i(ab)(ab)i，所以 ab1，ab2，解得 a32，b12，故选 A.第66讲 要点探究 方 法 二：12iabi 12iabiabiabia2b2abia2b21i，a2ba2b21，2aba2b21 a32，b12，故选 A.第66讲
7、 要点探究 点评 复数的代数式运算，要严格遵循复数的运算法则，特别要注意分母实数化的转化技巧，如第(2)题方法一，两边同乘以abi再进行运算，简单明了；方法二采用了分母实数化，繁杂易错利用复数相等的条件解题，是复数运算中常见的一种考查形式 第66讲 要点探究 2010 山东卷 已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab()A1 B1 C2 D3 答案 B第66讲 要点探究 解析 由a2iibi，得 a2ibi1，所以由复数相等的意义知：a1，b2，所以 ab1，故选 B.探究点3 共轭复数及与模有关的问题第66讲 要点探究 思路 设复数zabi(a、bR)，利用复数相等解得
8、例 4 设 z 的共轭复数是 z，且满足|z|z 1012i，则 z_.答案 34i第66讲 要点探究 解析 设 zabi(a、bR)，则 a2b2abi24i，a2b2a2，b4，a3，b4，z34i.第66讲 要点探究 点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关性质，可以简化解题过程共轭复数的性质有：z z；z z|z|2|z|2；zRz z.设 zabi，|z|a2b2，运算性质有：|z|z|；|z1z2|z1|z2|；|z|1z z 1；|z|2|z|2|z2|z2|z z 等如下面的变式题 第66讲 要点探究 2010课标全国卷 已知复数 z3i1 3i2，z 是
9、z 的共轭复数，则 z z()A.14 B.12 C1 D2 答案 A思路 先化简 z，再求 z，最后确定 z z 的值 第66讲 要点探究 解 析 方 法 一：z 3i 32 3i12 3i3 3i22 3i322 322 322 3 34 14i，所以 z z 34214214.方 法 二：z 3i 32 33i2i 3i13i2i13i1 3i 34 14i，所以 z z 34214214.探究点4 复数的几何意义第66讲 要点探究 思路 本题给出了一些点对应的复数，求另一些点或向量对应的复数，根据复数的几何意义进行求解 例 5 已知OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0
10、,32i，24i，则：(1)AO表示的复数为_；(2)CA表示的复数为_；(3)B 点对应的复数为_ 答案(1)32i(2)52i(3)16i 第66讲 要点探究 解析(1)AOOA，AO表示的复数为(32i)，即32i.(2)CAOAOC，CA表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)OBOAABOAOC，OB表示的复数为(32i)(24i)16i，即 B 点对应的复数为 16i.第66讲 要点探究 点评 解决此类问题是利用复数zabi(a、bR)与复平面内以原点为起点的向量之间一一对应的关系，相等的向量表示同一复数，然后借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行求解利用复数的几何意义解题会收到事半功倍的效果 规律总结 第66讲 规律总结 1当试题与复数的分类有关时，如当复数为实数、虚数、纯虚数、零时，特别要注意使用实部和虚部的约束条件 2设zabi(a，bR)，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法 3在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化 4复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用