1、第56讲 排列、组合 第56讲 排列、组合 知识梳理 第56讲 知识梳理 所有不同排列的个数 按照一定的顺序排成一列 Amn 并成一组 所有不同组合的个数 Cmn 第56讲 知识梳理 n(n1)(n2)(nm1)n！nm！AmnAmm Cnmn Cmn Cm1n n(n1)(n2)321 (1)(2)(1)!n nnnmm要点探究 探究点1 排列数、组合数公式的应用第56讲 要点探究 答案 B 例 1 若已知1Cm51Cm6 710Cm7则 Cm8()A8 B28 C56 D70 解析 m 的取值范围为 m 0m5，mZ，由已知得m！m！5！m！m！6！m！m！107！，即 6010(6m)(
2、7m)(6m)，m223m420，解得 m21(舍)或 m2，Cm8C2828.第56讲 要点探究 第56讲 要点探究 答案 B 若A7nA5nA5n89，则 n()A14 B15 C16 D17 第56讲 要点探究 解析 因为 n(n1)(n2)(n6)n(n1)(n2)(n4)n(n1)(n2)(n)(n5)(n6)1 n211n29，所以 n211n2989，化简得 n211n600，解得 n15 或 n4(舍)，故方程的解是 n15.探究点2 排列问题第56讲 要点探究 例 2 有 3 名男生、4 名女生(1)选其中 5 人排成一排，有_种排列方法；(2)排成前后两排，前排 3 人，后
3、排 4 人，有_种排列方法；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，有_种排列方法；(4)全体排成一排，女生必须站在一起，有_种排列方法；(5)全体排成一排，男生互不相邻，有_种排列方法；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人，有_种排列方法 第56讲 要点探究 解析(1)从 7 个人中选 5 个人来排列，有 A57765432520 种(2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4人排在后排，有 A44种方法，故共有 A37A445040 种事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件 答案(1)2520(2)5040(3)3600(4)576(
4、5)1440(6)720 第56讲 要点探究(3)(优先法)方法一：甲为特殊元素先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A66种方法，故共有 5A663600 种 方法二：排头与排尾为特殊位置排头与排尾从非甲的 6个人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进行全排列有 A55种方法，共有 A26A553600 种(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法，故共有 A44A44576 种 第56讲 要点探究(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A44
5、种方法，再在女生之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3个空位排男生，有 A35种方法，故共有 A44A351440 种(6)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有 A22种方法，再从剩下的 5 人中选 3 人排到中间，有 A35种方法，最后把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，与剩余 2 人全排列，有 A33种方法，故共有 A22A35A33720 种 第56讲 要点探究 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是()A72 B96 C108 D144 答案 C 第56讲 要点探究 解析 本小题主要考查排列与组合，考查分类讨论与
6、特殊位置或元素优先考虑的方法 当 1、3、5 两两不相邻时的六位偶数有 A33A3336 个；当 1、3 相邻但与 5 不相邻时的六位偶数有 A33A23A2272 个；所以满足条件的六位偶数有 3672108 个，故选 C.探究点3 组合问题第56讲 要点探究 例 3 男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 人选派 5 人外出比赛(1)选派男运动员 3 名，女运动员 2 名，有_种选派方法；(2)至少有 1 名女运动员，有_种选派方法；(3)队长中至少有 1 人参加，有_种选派方法；(4)既有队长，又有女运动员，有_种选派方法 第56讲 要点探究 解析(1)第一步：选 3 名
7、男运动员，有 C36种选法；第二步：选 2 名女运动员，有 C24种选法，共有 C36C24120 种选法(2)方法一：至少 1 名女运动员包括以下几种情况：1 女 4男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类加法计数原理可得总选法数为 C14C46C24C36C34C26C44C16246(种)答案(1)120(2)246(3)196(4)191 第56讲 要点探究 方法二：“至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从 10 人中任选 5 人有 C510种选法，其中全是男运动员的选法有 C56种所以“至少有 1 名女运动员”的选法为C510C56246(种)
8、(3)方法一(分类求解)：“只有男队长”的选法为 C48种；“只有女队长”的选法为 C48种；“男、女队长都入选”的选法为 C38种；所以共有 2C48C38196(种)选法 方法二(间接法)：从 10 人中任选 5 人有 C510种选法其中不选队长的方法有 C58种所以“至少 1 名队长”的选法为 C510C58196(种)第56讲 要点探究(4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C49种选法不选女队长时，必选男队长，共有 C48种选法其中不含女运动员的选法有 C45种，所以不选女队长时的选法共有 C48C45种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有 C49C48C45191(种)第56讲
9、要点探究 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16日(端午节假期)值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天若 6位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有()A30 种 B36 种 C42 种 D48 种 答案 C 第56讲 要点探究 解析 法一(分两类)：第一类，甲、乙同组，则只能排在 15 日，有 C246 种排法；第 2 类，甲、乙不同组，有 C14C13(A221)36 种排法，故共有 42 种放法 法二(间接法)：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法，即 C26C242C15C24C14C134
10、2，故共有 42 种放法 探究点4 排列、组合的综合应用第56讲 要点探究 例 4.4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？第56讲 要点探究 解答(1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球，其余 2 个球放在另外 2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C14C24C1
11、3A22144(种)第56讲 要点探究(2)“恰有 1 个盒内有 2 个球”，即另外 3 个盒子放 2 个球，每个盒子至多放 1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事，所以共有 144 种放法(3)确定 2 个空盒有 C24种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有 C34C11A22种放法；第二类有序均匀分组有C24C22A22 A22种放法故共有 C34C11A22C24C22A22 A2214(种)第56讲 要点探究 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志
12、愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A152 B126 C90 D54 答案 B 第56讲 要点探究 解析 分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则不同安排方案有 C23A3318；若有 1 人从事司机工作，安排从事司机工作的方法有 C13，其他 4 人从事另外 3 项工作，共有 C24A33种不同的安排方案，则方案有 C13C24A33108 种，所以共有 18108126 种，故 B 正确 规律总结 第56讲 规律总结 1解排列、组合混合题一般是先选元素、后排
13、元素或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理 2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏；对于选择题常采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误；对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏 第56讲 规律总结 3解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合 (2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径，即相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定序问题倍缩法；定位问题优先法；有序分配问题分步法；多元问题分类法；交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法；复杂问题转化法