1、第57讲 二项式定理 第57讲 二项式定理 知识梳理 第57讲 知识梳理 C0nanC1nan1bC2nan2b2CknankbkCnnbn Cknankbk 1二项式定理(ab)n_(nN*)，右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式，其中各项系数 Ckn(k0,1，n)叫做展开式的_，第 k1 项 Tk1_(其中0kn，kN，nN*)叫做二项展开式的通项公式二项展开式的特点：(1)项数：共有_项；(2)(ab)n 的展开式中各项均为 a 与 b 的 n 次齐次式，其中a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n，简称“一降二升”；(3)注意区分“项”“项数”“系数”“
2、二项式系数”等概念的区别二项式系数 n1 2二项式系数的性质(1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式_得到(2)增减性 Cknnk1kCk1n，当 k_时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的 第57讲 知识梳理 CknCnkn n12 第57讲 知识梳理(3)最大值 当 n 为偶数时，中间一项(第_项)的二项式系数最大，最大值为_ 当 n 为奇数时，中间两项(第_项和第_项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为_或_(4)各 项 二 项 式 系 数 和C0n C1n C2n Cnn _.(5)奇数项的二项式系数的和_偶数项的二项式
3、系数的和，即_2n1.n21 Cn2n n12 1 n12 1 Cn12n Cn12n 2n 等于 C0nC2nC1nC3n 要点探究 探究点1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数第57讲 要点探究 思路 利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n，再用通项公式求一次项和有理项 例 1 已知x 124 xn 展开式的前三项系数成等差数列则(1)n_；(2)展开式的一次项是_；(3)展开式中的有理项是_ 第57讲 要点探究 答案(1)8(2)358 x(3)T1x4，T5358 x，T9 1256x2 第57讲 要点探究 解析(1)因为前三项系数成等差数列，所以 C0nC2n1222C1n12，
4、1nn1214n，整理得 n29n80，n11(舍)，n28，所以 n8.第57讲 要点探究(2)Tr1Cr8(x12)8r12rxr4，Tr112rCr8x434r，由展开式的一次项得 43r4 1，有 r4.T5124C48x 11687654321x358 x.展开式的一次项为358 x.第57讲 要点探究(3)当 43r4 Z 时，Tr1为有理项，0r8 且 rZ，x0,4,8 符合要求 故有理项有 3 项，分别是 T1x4，T5358 x，T9 1256x2.第57讲 要点探究 点评 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指
5、数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可 第57讲 要点探究(1)2010陕西卷 xax5(xR)展开式中 x3的系数为 10，则实数 a 等于()A1 B.12 C1 D2(2)2010湖北卷 在(x4 3y)20 的展开式中，系数为有理数的项共有_项 思路 求出通项公式并进行化简，令字母的指数符合所需要的条件 第57讲 要点探究 解析(1)利用xax5 展开式的通项公式构建方程有 Cr5x5rarxrCr5x52rar10 x3r1，a2，选 D.答案(1)D(2)6 第57讲 要点探究(2)本题涉及二项式定理的有关知识这在高考考纲中是 B 级要求二项式展开式的
6、通项公式为 Tr1Cr20 x20r(4 3y)rCr20(4 3)rx20ryr(0r20)要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有6 项 探究点2 二项式系数与项的系数问题第57讲 要点探究 思路 由二项式系数的性质求出n，再由中间项的二项式系数最大可求解(1)，系数最大的项则由不等式组解得 例 2 已知3 xx22n 的展开式的二项式系数和比(3n1)n的展开式的二项式系数和大 992.求2x1x2n的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项 第57讲 要点探究 解答 由题意知，22
7、n2n992，即(2n32)(2n31)0，2n32，解得 n5.(1)由二项式系数的性质知，2x1x2n的展开式中第 6项的二项式系数最大，即 C510252.T6C510(2x)51x5C510258064.第57讲 要点探究(2)设第 r1 项的系数的绝对值最大，Tr1Cr10(2x)10r1xr(1)rCr10210rx102r，Cr10210rCr110 210r1，Cr10210rCr110 210r1，得 Cr102Cr110，2Cr10Cr110，即 11r2r，2r110r，解得83r113，rZ，r3.故系数的绝对值最大的是第 4 项，第四项为 T4C31027x41536
8、0 x4.第57讲 要点探究 点评 注意区别展开式中“第r1项的二项式系数”与“第r1项的系数”，把握住通项公式是解题的关键 探究点3 赋值法的应用第57讲 要点探究 例 3 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，则(1)a1a2a7_；(2)a1a3a5a7_；(3)a0a2a4a6_；(4)|a0|a1|a2|a7|_.第57讲 要点探究 解析 令 x1 则 a0a1a2a3a4a5a6a71，令 x1 则 a0a1a2a3a4a5a6a737，(1)令 x0，则 a0(10)71，a1a2a72，(2)()2 得 a1a3a5a713721094.(3)()2 得 a0a2a4a6
9、13721093.思路 利用赋值法可求得 答案(1)2(2)1094(3)1093(4)2187 第57讲 要点探究(4)方法一：(12x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零，a0 a1 a2 a7(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1093(1094)2187.方法二：a0 a1 a2 a7 可看作(12x)7展开式中的各项的系数和，a0 a1 a2 a7 372187.第57讲 要点探究 点评 求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如1,0，1，第57讲 要点探究 2010江西卷(2 x)8 展开式中不含x4项
10、的系数的和为()A1 B0 C1 D2 思路 先求所有项系数之和，再求含x4项的系数，然后两者相减即可 答案 B 第57讲 要点探究 解析(2 x)8 展开式中所有项的系数的和为(2 1)81，又由通项得含 x4 项(最后一项)的系数为(1)81，所以展开式中不含x4项的系数的和为 110，选 B.规律总结 第57讲 规律总结 1通项公式最常用，是解题的基础对三项或三项以上的展开式问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，求展开式的特定项的关键是抓住其通项公式，所谓特定项是指展开式中的某一项，如第 n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值等特殊的项，求解时，先准确写出通项公式，再把系数和
11、字母分开来，应注意符号，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程和不等式求解即可 第57讲 规律总结 2求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 4二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指 Crn，它只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值有关，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用