1、河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则 ( )A B C D2已知为虚数单位，复数，则等于（ ）A2 B C D03执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为（ ）A12 B6 C3 D04已知，是定义在上连续函数，则“对一切成立”是“的最大值小于的最小值”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5如下左图所示的一个正三棱柱被平面截得的几何体，其中，几何体的俯视图如下右图所示，则该几何体的正视图是
2、（ ）6设，则的概率为（ ）A B C D7设为锐角，且，则（ ）A1 B2 C D8若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”.已知被“同余”，则在上的投影是（ ）A B C D9已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，分别为的离心率，则的取值范围为（ ）A B C D10平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面 ，则的正切值为（ ）A B C D11已知点在曲线：上运动，给出以下命题：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；：在轴上一定存在两个不同的定点，满足为定值；：的最小值为1；：的最大值为.则下列命题为真命题的是（ ）A B C D12（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每
3、题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知是任意实数，则关于的不等式的解集为 14已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.”乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”丙说：“我去过北京，乙说得对.”已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是 15已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 16在斜三角形中，为的中点，且，则的值是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17对于数列（），若存在，则称数列，分别为数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列
4、，是其前（）项和，（1）求数列的通项公式；（2）证明：18为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二
5、级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望19如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.（1）若为的中点，当为何值时，平面平面；（2）若，当时，直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20已知椭圆：的左焦点和上顶点在直线上，为椭圆上位于轴上方的一点且轴，为椭圆上不同于的两点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与轴交于点，求实数的取值范围21已知函数.（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）当时，分别求函数的最小值和的最大值，并证明当时，成立；（3）令，当时，判断函数有几个不同的零
6、点并证明.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线过极坐标系内的两点和（1）写出曲线的普通方程，并求直线的斜率；（2）设直线与曲线交于两点，求.23选修4-5：不等式选讲已知函数（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围试卷答案一、选择题1-5：ACCBA 6-10：BAACD 11、12：BD二、填空题13 14甲、丙 158 161三、解答题17（1）设等差数列的公差为.由题意可得解得所以.
7、（2）证明：因为，所以，因为是除以4的余数，所以是除以4的余数，由两边同时除以4，得左边的余数为，右边的余数为，所以. 18、（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有种不同选择.（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为所以的数序期望.19、（1）要使平面平面，只需平面.因为四棱柱为长方体，所以平面，所以.又因为，所以只需，只需，只需，因为，所以只需，因为为的中点，所以，所以.所以当时，平面平面.（2）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，由得，则，设平面的法向量为
8、，则，所以，取，则，所以，设直线与平面所成的角为，则令，则，所以所以当，即，时，取得最大值1.20、（1）依题意得椭圆的左焦点为，上顶点为，故，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的斜率为，因为，所以关于直线对称，所以直线的斜率为，易知，所以直线的方程是，设，联立，消去，得，所以，将上式中的换成，得，所以，所以直线的方程是，代入椭圆方程，得，所以，解得，又因为在点下方，所以，所以.21、（1）由题意得在上恒成立，令，有即得，所以.（2）由题意可得令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值3.，令，得，当，在上单调递增，所以，因为当时，所以当时，.（3）因为，所以，其定义域为，因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，又，所以函数只有1个零点. 22、（1）由题意得曲线的普通方程为，直线的斜率为.（2）易知直线的参数方程为（为参数）代入，得，设方程的两个根为，所以.23、解：（1）由题意知，不等式的解集为，由得，解得.（2）不等式等价于，因为不等式对任意恒成立，所以因为，所以，解得或.