1、 专题八 概率与统计 第二讲 概率，随机变量及分布列 （一）高考考点解读 高考考点 1.古典概型几何概型及条件概率 2.互斥事件，对立事件及独立事件 3.离散型随机变量的分布列 考点解读1.考查古典概型、几何概型概率公式的应用2.利用条件概率公式求概率考点解读3.互斥事件、对立事件与古典概型相结合考查4.相互独立事件同时发生的概率的求法.考点解读5.超几何分布6.与相互独立事件有关的分布列和均值问题7.独立重复试验和二项分布（二）核心知识整合 考点1：古典概型几何概型及条件概率1随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：01P A；必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 02古典概型的概率P(
2、A)A中所含的基本事件数基本事件总数3几何概型的概率A?()(P A 构成事件 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积)4.条件概率在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率：()|)(P ABP B AP A 解题技巧1利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏解题技巧2几何概型的适用条件及求解关键(1)适用条件：当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)求解关键：构成试验的
3、全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域解题技巧3条件概率的求法(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得()|)(P ABP B AP A.这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n A，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即 n AB，得()|)(n ABP B An A.1.从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.23 从写有 1,2,3,4,5,
4、6 的 6 张卡片中无放回地抽取 2 张，共有 15 种取法，它们分别是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其中卡片上的数字之积是 4 的倍数的是(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共 6 种取法，所以所求概率是62155P.故选 C.2.在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件，以 710 为概率的事件是()A.恰有 1 件一等品B.至少有 1 件一等品C.至多有 1 件一等品D.都不是
5、一等品 将 3 件一等品编号为 1，2，3，2 件二等品编号为 4，5，从中任取 2 件有 10 种取法：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有 1 件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)，则恰有 1 件一等品的概率1610P；恰有 2 件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3)，则恰有 2 件一等品的概率2310P，故“至多有 1 件一等品”的概率323711 1010PP .故选 C.（二）核心知识整合 考点 2：互斥事件，对立事件及独立事件1.
6、互斥事件与对立事件(1)对立事件是互斥事件，互斥事件未必是对立事件(2)如果事件 A，B 互斥，那么事件 AB发生(即 A，B 中有一个发生)的概率，等于事件 A，B 分别发生的概率的和，即 ()P ABP AP B.这个公式称为互斥事件的概率加法公式(3)在一次试验中，对立事件 A 和 A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()=A1P(A)2相互独立事件同时发生的概率若 A，B 为相互独立事件，则()()P ABP A P B3.独立重复试验如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 C(1),0,1,2,kkn knnP kp
7、pkn.4.超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)kn kMNMnNC CC，0,1,2km，其中mmin Mn，且*nNMNnMNN，.此时称随机变量 X 服从超几何分布超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n解题技巧求复杂事件概率的方法及注意点1直接法正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解解题技巧2间接法当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种
8、方法求解3注意点注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同1.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 15，从中取出 2粒都是白子的概率是 17。那么从中任意取出 2 粒不是同一色的概率是()。A.15B.17C.1235D.2335 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都是白子”为事件 B，则事件 A 与 B 互斥。“从中取出 2 粒不是同一色”为事件 C，则 C 与 AB对立，所以1123()1 ()()17535P CP AP B ，即“从中取出 2 粒不是同一色”
9、的概率为 2335.故选 D.2.如图，用 K，1A，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且1A，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知 K，1A，2A 正常工作的概率依次为 0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576 根据题意，记 K，1A，2A 正常工作分别为事件 A，B，C.则()0.9P A，1A，2A 至少有一个正常工作的概率为1()()1 0.2 0.20.96P B P C，则系统正常工作的概率为0.9 0.960.864.故选 B.（二）核心知识整合 考点 3：离散型随机变量的分布列 1.离
10、散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量 X 可能取的值为12inxxxxX，取每一个值 xi 的概率为()iiP Xxp，则称表：Xx1x2x3xixnPp1p2p3pipn为离散型随机变量 X 的分布列(2)1122iinnE Xx px px px p（）为 X 的均值或数学期望(简称期望)，反应 X 的平均水平(3)D(X)12()iiin xE Xp 为随机变量 X 的方差()D X 叫标准差，它们均反映 X 的离散程度2.正态分布正态曲线的定义：函数 222()21xxe，()x，其中实数 和(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线3.重要公式与性质（一
11、）离散型随机变量 X 的分布列具有两个性质12011,)2,(3iinpppppin，（二）期望与方差的性质(1)2()()()E aXbaE XbD aXba D Xab ；，为常数；(2)1()()XB npE XnpD Xnpp，则，；(3)X 服从两点分布，则(1)E XpD Xpp，（三）正态曲线的性质(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称；(3)曲线在 x 处达到峰值12；(4)曲线与 x 轴之间的面积为 1；(5)当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；(6)当 一定时，曲线的形状由 确定 越小，曲线越“瘦高”，表
12、示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示（四）正态分布的三个常用数据0.6826220.954()()()4330.9974PXPXPX；提醒1对随机变量理解不到位，造成对随机变量的取值有误 2忽略随机变量的分布列中的概率之和应等于1 3不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等语句的含义 1.某方盒中有 5 个除颜色外其余都相同的球(3 个红球、2 个白球)，现从盒中任取 2 个球，若球的颜色相同，则将 2 个球涂成白色并且放回盒中，否则将 2 个球涂成红色放回盒中.记 X 为方盒中最终的白球个数，则()E X ()A.1B.95C.2D.115 从 5 个球
13、中任取 2 个球有2510C 种取法，由题意知 X 的所有可能取值为 1，2，4，1132C C3(1)105P X，22C1(2)1010P X，23C3(4)1010P X，故313()124251010E X ，故选 C.2.某地的 7 个村中有 3 个村是小康村，现从中任意选出 3 个村，下列事件中概率等于 67 的是()A.至少有 1 个小康村B.有 1 个或 2 个小康村C.有 2 个或 3 个小康村D.恰有 2 个小康村 用 X 表示这 3 个村中小康村的个数，故33437C C(),0,1,2,3.CkkP Xkk所以033437C C4(0)C35P X，122134343377C CC C1812(1),(2),C35C35P XP X303437C C1(3),C35P X 因为6(1)(2)7P XP X，故选 B.谢谢观看
