1、专题能力提升练(一)函数一、选择题(每小题5分)1已知f(x)，则f的值为()A.BC1 D1解析：ff1sin1.答案：B2已知f(x)为偶函数，则yloga(x24x5)的单调递增区间为()A(，1) B(，2)C(2，) D(5，)解析：因为f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)，即1a12，所以a2，则ylog2(x24x5)，令tx24x5，其对称轴为x2，由x24x50，得x1或x5.由复合函数的单调性知，yloga(x24x5)的单调递增区间为(5，)答案：D3已知函数f(x)ln，则f(x)是()A非奇非偶函数，且在(0，)上单调递增B奇函数，且在R上单调递增C非奇非偶函数，且
2、在(0，)上单调递减D偶函数，且在R上单调递减解析：要使函数有意义，则exex，解得x0，即函数的定义域是(0，)，故函数是非奇非偶函数又y在(0，)上递增，所以f(x)在(0，)上递增，故选择A.答案：A4若关于x的方程ax3的正实数解有且仅有一个，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，02C0，) D0，)2解析：在直角坐标系中作出y的图象，如图所示，易知当a0时，直线y3ax与y的图象在第一象限只有一个交点；当a2时，易知直线y32x与y的图象在第一象限内只有一个交点(1,1)，故选B.答案：B5设函数f(x)sin1(0)的导函数f(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程
3、是()Ax BxCx Dx解析：f(x)cos的最大值为3，即3，f(x)sin1.由3xk(kZ)得，x(kZ)故A正确答案：A6设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx()A BC. D.解析：依题意得，f(x)dxx2dxdxx3lnx1.答案：D7若曲线f(x，y)0(或yf(x)上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)0(或yf(x)的自公切线，现有下列曲线：x2y21y3sinx4cosxyx2|x|x|1.其中存在自公切线的是()A BC D解析：对于，曲线x2y21为等轴双曲线，不存在自公切线；对于，曲线y3sinx4cosx的一条自公切线为y5；对于，
4、函数yx2|x|的图象如图1所示，显然存在自公切线；对于，函数|x|1的图象如图2中实线部分所示，显然不存在自公切线答案：C8函数f(x)exex，xR的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(，1) D(1，)解析：由题意知，f(x)exe，令f(x)0，解得x1，故选D.答案：D9已知函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)，若f(x)的最小值为g(t)，且g(t)2tm对任意的t(0,2)恒成立，则实数m的取值范围是()A1，) B(，1C(1，) D(，1)解析：f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，f(x)minf(t)t3t1(t0)，即g(t)t3t1.由g(t)2
5、tm对任意的t(0,2)恒成立，知g(t)2tm对任意的t(0,2)恒成立，令h(t)g(t)2tt33t1，只需mh(t)max(t(0,2)即可由h(t)3t230得t1或t1(不合题意，舍去)h(t)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，h(t)在(0,2)上的最大值为h(1)1，m1.故应选C.答案：C10已知函数f(x)x22x1alnx有两个极值点x1，x2，且x1x2，则()Af(x2) Bf(x2)Cf(x2) Df(x2)解析：由题意，f(x)x22x1alnx的定义域为(0，)，f(x)2x2.因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f(x)0有两个不同的正实根x
6、1，x2，因为0x1x2，且x1x21，所以x21，a2x22x，所以f(x2)x2x21(2x22x)lnx2.令g(t)t22t1(2t2t2)lnt，其中t1，则g(t)2(12t)lnt，当t时，g(t)0，所以g(t)在上是增函数，所以g(t)g，故f(x2)g(x2).答案：D二、填空题(每小题5分)11若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_解析：函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以，解得所以ab3.答案：12已知f(x)4x1，g(x)4x.若偶函数h(x)满足h(x)mf(x)ng(x)(其中m，n为常数)
7、，且最小值为1，则mn_.解析：由h(x)m(4x1)n4x是偶函数，得h(x)m(4x1)n4xh(x)m(4x1)n4x，化简得(mn)(4x4x)0，所以mn.又h(x)m(4x4x1)有最小值1，所以m0，又h(x)m(4x4x1)3m，所以3m1，解得m，故mn.答案：13若函数f(x)ax2bx1是定义在1a,2a上的偶函数，则该函数的最大值为_解析：由函数f(x)ax2bx1是定义在1a,2a上的偶函数，可得b0，且1a2a0，解得a1，所以函数f(x)x21，x2,2，故该函数的最大值为5.答案：514若函数yloga(x2ax1)(a0，a1)有最小值，则实数a的取值范围是_
8、解析：当a1时，若函数yloga(x2ax1)(a0，a1)有最小值，则(a)240，得1a2；当0a1时，函数yx2ax1没有最大值，从而不能使得函数yloga(x2ax1)有最小值，不符合题意综上可知，实数a的取值范围是(1,2)答案：(1,2)15在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：yx3x上，且在y轴左侧，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为_解析：由y3x212，得x1，又点M在第二象限内，故x1，此时y0，故点M的坐标为(1,0)答案：(1,0)三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分)16已知f(x)是定义在R上的偶函数，
9、且当x0时，f(x)loga(x1)(a0，且a1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)若1f(1)1，求实数a的取值范围解：(1)当x0时，x0，由题意知f(x)loga(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)当x0时，f(x)loga(x1)，函数f(x)的解析式为f(x).(2)1f(1)1，1loga21，logaloga2logaa.当a1时，原不等式等价于，解得a2；当0a1时，原不等式等价于，解得0a.综上，实数a的取值范围为(2，)17已知函数f(x)axlnx，g(x)eax2x，其中aR.(1)当a2时，求函数f(x)的极值；(2)若存在区间D(0，)，使
10、得f(x)与g(x)在区间D上具有相同的单调性，求实数a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)2xlnx，定义域为(0，)，则f(x)2，故当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x处取得极小值，且f1ln2，无极大值(2)由题意知，f(x)a，g(x)aeax2，当a0时，g(x)0，即g(x)在R上单调递增，而f(x)在上单调递增，故必存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减，而g(x)在(0，)上单调递增，故不存在满足条件的区间D；当a0时，f (x)a0，即f(x)
11、在(0，)上单调递减，而g(x)在上单调递减，在上单调递增，若存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上有相同的单调性，则有ln0，解得a2.综上可知，a0或a2.18已知函数f(x)，aR.(1)若函数yf(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若函数yf(x)的图象上存在两点关于原点对称，求a的取值范围解：(1)当x0时，f(x)2ex(xa)23，f(x)2(exxa)因为yf(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即2(e1a)0，解得a1e，经验证满足题意，所以a1e.(2)由题意知yf(x)的图象上存在两点关于原点对称，即y2ex(xa)23(x0)图象上存在一点(x0，
12、y0)(x00)，使得(x0，y0)在yx23axa23(x0)的图象上，即有，消去y0，得2ex0(x0a)23x3ax0a23，化简得a.yf(x)的图象上存在两点关于原点对称，即关于x0的方程a在(0，)上有解设h(x)(x0)，则h(x).因为x0，所以当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0.所以h(x)在(0,1)上为减函数，在(1，)上为增函数所以h(x)h(1)2e，且x时，h(x)；x0时，h(x)，即h(x)的值域为2e，)所以当a2e时，方程a在(0，)上有解所以当a2e时，yf(x)的图象上存在两点关于原点对称19已知函数f(x)alnx(a0)(1)求函数f(x)
13、的单调区间；(2)若x|f(x)0b，c(其中bc)，求a的取值范围，并说明b，c(0,1)解：(1)f(x)(x0)()当a0时，f(x)0，则函数f(x)的单调递减区间是(0，)()当a0时，令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极小值所以f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)由(1)知，当a0时，函数f(x)在(0，)上是减函数，所以函数f(x)至多存在一个零点，不符合题意当a0时，因为f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以要使x|f(x)0b，c，必需f0，即alna0.所以ae.当ae时，falna22alnaa2a(a2
14、lna)令g(x)x2lnx(xe)，则g(x)1(xe)当xe时，g(x)0，所以g(x)在e，)上是增函数所以当ae时，g(a)a2lnag(e)e20.所以f0.因为1，f0，f(1)10，所以f(x)在上存在一个零点，不妨记为b，在上存在一个零点，不妨记为c.因为f(x)在上是减函数，在上是增函数，所以x|f(x)0b，c综上所述，a的取值范围是(e，)因为b，c，所以b，c(0,1)20已知函数f(x)ex1x.(1)若存在x0，使aex1x0成立，求a的取值范围；(2)当x0时，f(x)(t1)x恒成立，求t的取值范围解：(1)由题知aex1x，即af(x)，令f(x)ex10，得
15、x0.x0时，f(x)0，x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数当x0时，f(x)在区间端点处取得最大值又f(1)e111，f1ln，f(1)f1lnln0.f(1)f，f(x)在上的最大值为，故a的取值范围是a.(2)由已知可得x0时，ex1tx0恒成立，令g(x)ex1tx，则g(x)ext，若t1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)(t1)x恒成立若t1，则当x(0，lnt)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lnt)时，g(x)0，即f(x)(t1)x，所以t1不符合
16、题意，综上可得t的取值范围为(，121已知函数f(x)alnxx2(1a)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对于任意正整数m，n，不等式恒成立解：f(x)x(1a).(1)当a0时，若0x1，则f(x)0，若x1，则f(x)0，故此时函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)；当0a1时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间是(0，a)，(1，)，单调递减区间是(a,1)；当a1时，f(x)0，函数f(x)的单调递增区间是(0，)；当a1时，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，(a，)，单调递减区间是(1，a)(2)由于f(1)a，显然当a0时，f(1)0，此时f(x)0对定义域内的任意x不是恒成立的，当a0时，根据(1)，函数f(x)在区间(0，)上的极小值、也是最小值是f(1)a，此时只要f(1)0即可，解得a，故实数a的取值范围是.(3)由(2)知，当a时，f(x)lnxx2x0，当且仅当x1时等号成立，即lnxx2x，当x1时，这个不等式可以变换为，在上面不等式中分别令xm1，m2，mn，则，所以.