1、课时训练19 数列的通项与求和【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列an的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a10等于（ ）A.171 B.21 C.10 D.161【答案】D【解析】原式=S10-S3=2102-310-(232-33)=161.2.数列an的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为（ ）A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】因an=，故Sn=(-1)+(-)+()=-1,由Sn=10,故n=120.3.数列an的通项公式为an=4n-1,令bn=,则数列bn的前n项和为（ ）A
2、.n2 B.n(n+2) C.n(n+1) D.n(2n+1)【答案】B【解析】an=4n-1,数列an是等差数列，且a1=4-1=3,bn=2n+1.显然数列bn是等差数列，且b1=2+1=3，它的前n项和Sn=b1+b2+bn=n(n+2).4.数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n-1）,的前n项和等于（ ）A.2n B.2n-n C.2n+1-n-2 D.n2n【答案】C【解析】令n=1,排除A、D，又令n=2，排除B.选C.5.数列1，的前n项和等于( )A.Sn=3- B.Sn=3-1-C.Sn=3- D.Sn=3-n2n-【答案】A【解析】令Sn=1+, 则S
3、n=+. -得Sn=1+=1+=.Sn=3-,故选A.或者用特殊法.6.Sn=1+等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】an=,Sn=2(1-)+(-)+()=2(1-)=.7.(2010全国大联考，10)已知数列an满足an=则an的前2k-1项的和为( )A.k2-k+1- B.k2+k+1-C. D.【答案】A【解析】取k=1，S1=，排除B、C；取k=2,S3=,排除D。二、填空题（每小题5分，共15分）8.已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么S15+S22-S31的值为_.【答案】-76【解析】S15=1-5+9-13
4、+57=1+(9-5)+(17-13)+(57-53)=29,同理可得：S22=-44，S31=61,S15+S22-S31=-76.9.(2010湖北八校模拟，14)数列an中，Sn是前n项和，若a1=1,an+1=Sn(n1),则an=_.【答案】an=【解析】an+1=Sn, an=Sn-1. -得an+1-an=an,(n2).a2=S1=1=,当n2时，an=()n-2.an=10.数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an,则an=_.【答案】(nN*)【解析】a1+a2+an=n2an a1+a2+an+an+1=(n+1)2an+1. -得an+1=(n+1)2an+1-n
5、2an,.an=a1.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.求a+2a2+3a3+nan.【解析】设S=a+2a2+3a3+nan.若a=0,则S=0；若a=1,则S=;若a0,且a1,则S=a+2a2+3a3+nan, aS=a2+2a3+(n-1)an+na n+1 -得（1-a）S=a+a2+an-nan+1=-nan+1.S=.12.(2010湖北黄冈中学模拟，17)已知等比数列an中，a1=64,公比q1,a2,a3,a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求an;(2)设bn=log2an,求数列|bn|的前n项和Tn.【解析】（1）依题意
6、有a2-a4=3(a3-a4)，即2a4-3a3+a2=0,2a1q3-3a1q2+a1q=0，即2q2-3q+1=0.q1,q=.故an=64()n-1,(2)bn=log264()n-1=log227-n=7-n，|bn|=n7时，Tn=;n7时，Tn=T7+=21+，故Tn=13.(2010中科大附中模拟，19)等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且a1,a3,a9成等比数列，S5=a52;(1)求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=,求数列bn的前99项的和.【解析】(1)设数列an公差为d(d0),a1,a3,a9成等比数列,a32=a1a9,(a1+2d)2=a1(a
7、1+8d),d2=a1d. d0,a1=d.Sn=a52,5a1+d=(a1+4d)2. 由得：a1= d=,an=+(n-1)=n.bn=.b1+b2+b3+b99=99+(1-)+(-)+()=(100-)=.14.设数列an的前n项和为Sn，若对于任意的nN*,都有Sn=2an-3n,(1)求数列an的首项与递推关系式an+1=f(an);(2)先阅读下面定理，若数列an有递推关系an+1=Aan+B,其中A、B为常数，且A1,B0,则数列an-是以A为公比的等比数列，请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列an的通项公式;(3)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1).an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3.故an+1=f(an)=2an+3.(2)an+1+3=2(an+3),an+3为等比数列，首项为a1+3=6,公比为2，故an+3=62n-1=32n.an=32n-3.(3)Sn=a1+a2+a3+an=3(2+22+2n)-3n=32n+1-6-3n.