1、海原一中2019-2020学年第一学期第三次月考高三数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】 故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题.2.设集合，若，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 集合， 是方程解，即 ，故选C3.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出图形，以为基
2、底将向量进行分解后可得结果【详解】画出图形，如下图选取为基底，则，故选C【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】
3、设塔顶a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B5.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos的平方代入即可求出值【详解】解：根据题意可知：tan2，所以cos2，则cos22cos2121故选B【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题
4、【此处有视频，请去附件查看】6.设函数,（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】.故选C.【此处有视频，请去附件查看】7.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+)的一个零点为x=D. f(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误故选D.8.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.9.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C
6、. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.10.已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选C平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的
7、取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围11.已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A
8、【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量的夹角为，则_【答案】【解析】=故答案为14.若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为_.【答案】【解析】 ，当且仅当 时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正
9、数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是_【答案】【解析】【分析】利用两个图象间的对称性，建立方程组即可.【详解】函数y=f（x）的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称函数y=f（x）与y=ex互为反函数则f（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称g（x）=ln（x），又g（m）=1ln（m）=1，故答案为【点睛】互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点
10、一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，b）点一定在函数g（x）的图象上16.下列说法正确的是_（请把你认为正确说法的序号都填上）.（1）函数的最小正周期为（2）若命题：“，使得”，则：“，均有”（3）中，是的充要条件；（4）已知点N在所在平面内，且，则点N是重心；【答案】(1) (2) (3) (4)【解析】【分析】根据降幂
11、公式和辅助角公式,化简即可判断(1);根据特称命题的否定即可判断(2);根据三角形中的边角关系可判断(3);根据三角形中重心的向量表示可判断(4).【详解】对于(1),由降幂公式及辅助角公式,化简可得所以最小正周期为,故(1)正确;对于(2), 根据特称命题的否定可知:命题: “,使得”则:“,均有”,所以(2)正确;对于(3), 中由正弦定理可知,若则,根据三角形中大边对大角可知;若,则,由正弦定理可知.所以是的充要条件,故(3)正确;对于(4), 点N在所在平面内,且设中点为,由向量的线性运算可得则点N是的重心,所以(4)正确.综上可知, 正确的是(1) (2) (3) (4)故答案为:
12、(1) (2) (3) (4)【点睛】本题考查了三角函数式的化简应用,降幂公式及辅助角公式的用法,充分必要条件的判断,特称命题否定形式,三角形中重心的向量表示,综合性较强,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.【答案】【解析】【详解】在BCD中，. 由正弦定理得所以在RtABC中，塔高为.18.记为等差数列的前项和，已知，（
13、1）求的通项公式；（2）当为何值时，有最大值，并求其最大值【答案】（1） （2）n=6或n=7，最大值为42【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及前n项和公式,可得关于与的方程组,即可求得的通项公式;(2)求得的表达式,根据配方法及,即可求得的最大值.【详解】(1)设公差为,由题意得即,解方程可得 (2)由(1)得当取与最接近的整数,即6或7时,有最大值最大值为【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的简单应用,前n项和最值的求法,属于基础题.19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1) 证明：PB平面AEC (2) 设二面角
14、D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积【答案】【解析】试题分析：（）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EOPB，即可证明PB平面AEC；（）延长AE至M连结DM，使得AMDM，说明CMD=60，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC. (2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，|为单
15、位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D，E，.设B(m，0，0)(m0)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1.又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cosn1，n2|，即，解得m.因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V.考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【此处有视频，请去附件查看】20.设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】【解析】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）
16、由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到试题解析：（1） 由已知，当时，=，而，所以数列的通项公式为（2） 由知 7分从而得，即考点：1累和法求数列通项公式；2错位相减法求和21.设函数.(1)若，求的单调区间；(2)若当时恒成立，求的取值范围【答案】(1) f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加;(2) a的取值范围为(，.【解析】【分析】(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.分别令f(x)0可求的单调区间；(2求导得到)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故问题转化为f(x)x2ax(12a)x，从
17、而对12a的符号进行讨论即可得出结果.【详解】(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)得ex1x(x0)，从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0，ln2a)时， f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln2a)时，f(x)0，综上可得a取值范围为(，【点睛】本题考查利用
18、导数研究函数的性质，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（t为参数）距离的最小值【答案】（）为圆心是（，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（）【解析】【详解】（1）为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（2）当时，故的普通方程为，到的距离所以当时，取得最小值.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）当时；（2）由等价于，解之得.试题解析： （1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（2）当时，当时等号成立，所以当时，等价于. 当时，等价于，无解.当时，等价于，解得.所以的取值范围是.考点：不等式选讲.【此处有视频，请去附件查看】