1、宁夏吴忠中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合Ax|3x3，集合Bx|x23x40，则AB（）A（3，1B2，3）C（3，2D（3，12设A（1，1，2），B（3，2，8），C（0，1，0），C关于面xOz对称的点为D，则线段AB的中点P到点D的距离为（）ABCD3已知m，n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A若m，则mB若m，n，则mnC若m，m，则mD若m，nm，则n4已知角终边过点（3，1），则（）A2B2C1D5以点（3，1）为圆心，且与直线x3y+40相切的圆的
2、方程是（）A（x3）2+（y+1）220B（x3）2+（y+1）210C（x+3）2+（y1）210D（x+3）2+（y1）2206已知函数，则下列说法正确的是（）Af（x）的最大值为2Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）为奇函数7已知非零向量，满足|2|，且（），则与的夹角为（）ABCD8已知圆（x1）2+（y+2）21上一点P到直线3x4y30的距离为d，则d的最小值与最大值的差为（）ABC1D29已知sin（+）+3cos（）0，则sin2（）ABCD10点P（4，2）与圆x2+y24上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y
3、+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x+2）2+（y1）2111直线ykx+2与圆x2+y2+2x0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（）A，1B，1）C，+）D（，1）12点M是三角形ABC所在平面上一点，且满足，则三角形ABC的形状一定是（）A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13已知向量，若，则 14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上四个命题中，正确命题的序号是 15已知圆A：x2+y22ax0（a0）被直线x+y20截
4、得的线段长为，则圆A与圆B：x2+y2+4x+4y50的位置关系是 16三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且AC2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）直线l经过两直线l1：3x+4y20和l2：2x+y+20的交点，且直线l与直线3x+y10垂直，求直线l的方程；（2）已知以C（4，3）为圆心的圆与圆O：x2+y21相切，求圆C的方程18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）求证：平面PAC平面PBD；（3）当PAAB
5、2，ABC时，求三棱锥CPBD的体积19已知向量（1）若时，求cos2xsin2x的值；（2）若，求的值20如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由21已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0），x0，求cos2x0的值22在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y2x4，l2：yx1，设圆C的半径为1，圆心在l1上（）若圆心C也在直线l2上，求圆C的方程；过点A（2，0）作圆C的切线
6、，求切线的方程；（）若圆在直线l2截得的弦长为，求圆C的方程参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1已知集合Ax|3x3，集合Bx|x23x40，则AB（）A（3，1B2，3）C（3，2D（3，1解：集合Ax|3x3，集合Bx|x23x40x|x1或x4，ABx|3x1（3，1故选：D2设A（1，1，2），B（3，2，8），C（0，1，0），C关于面xOz对称的点为D，则线段AB的中点P到点D的距离为（）ABCD解：C（0，1，0）关于xoz对称的点的坐标为E（0，1，0），由于A（1，1，2），B（3，2，8），所以中点P（2，3），所以|EP|，故选：D3已知m，n是空
7、间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A若m，则mB若m，n，则mnC若m，m，则mD若m，nm，则n解：不妨设l，对于A，若m且ml，则m，故A错误；对于B，若m，n与l相交且不垂直，交点分别为M，N，显然m与n不一定垂直，故B错误；对于C，若m，则m或m，又m，故m，故C正确；对于D，由面面垂直的性质可知当n时才有n，故D错误故选：C4已知角终边过点（3，1），则（）A2B2C1D解：角终边过点（3，1），所以tan，所以2故选：A5以点（3，1）为圆心，且与直线x3y+40相切的圆的方程是（）A（x3）2+（y+1）220B（x3）2+（y+1）210C（
8、x+3）2+（y1）210D（x+3）2+（y1）220解：r，所求圆的方程为（x3）2+（y+1）210故选：B6已知函数，则下列说法正确的是（）Af（x）的最大值为2Bf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线对称Df（x）为奇函数解：sin（+），f（x）的最小正周期为4，最大值为，故A，B错误；当x时，f（x）sin（+），是最值，故f（x）的图象关于直线对称，故C正确；f（x）sin（+）sin（）f（x），故f（x）不是奇函数，故D错误故选：C7已知非零向量，满足|2|，且（），则与的夹角为（）ABCD解：（），故选：B8已知圆（x1）2+（y+2）21上一点P到直线3x4y3
9、0的距离为d，则d的最小值与最大值的差为（）ABC1D2解：圆（x1）2+（y+2）21的圆心坐标为（1，2），半径为1，圆心到直线3x4y30的距离为1，圆（x1）2+（y+2）21上一点P到直线3x4y30的距离d的最小值为，最大值为，则d的最小值与最大值的差为故选：D9已知sin（+）+3cos（）0，则sin2（）ABCD解：因为sin（+）+3cos（）0，所以sin+3cos0，可得sin3cos，即tan3，则sin2故选：B10点P（4，2）与圆x2+y24上任一点连线的中点轨迹方程是（）A（x2）2+（y+1）21B（x2）2+（y+1）24C（x+4）2+（y2）21D（x
10、+2）2+（y1）21解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y24得（2x4）2+（2y+2）24，化简得（x2）2+（y+1）21故选：A11直线ykx+2与圆x2+y2+2x0只在第二象限有公共点，则实数k的取值范围为（）A，1B，1）C，+）D（，1）解：直线ykx+2与圆x2+y2+2x0只在第二象限有公共点如图所示：实数k的取值范围为，1）故选：B12点M是三角形ABC所在平面上一点，且满足，则三角形ABC的形状一定是（）A等腰三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解：因为，整理得（+）（）0，则（+）（）0，则|，故ABC为等腰三角形故选：A二、填空题
11、：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13已知向量，若，则解：，2m（2m1）0，解得m，故答案为：14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD以上四个命题中，正确命题的序号是解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则ABEF，EF与MN为异面直线，ABCM，MNCD，只有正确故答案为15已知圆A：x2+y22ax0（a0）被直线x+y20截得的线段长为，则圆A与圆B：x2+y2+4x+4y50的位置关系是 相交解：由圆A：x2+y22ax0，得（xa）2+y2a2（a0），圆心坐标为（a，0）
12、，半径为a，圆心到直线x+y20的距离d，圆A：x2+y22ax0（a0）被直线x+y20截得的线段长为，解得a5（舍去）或a1则圆A的圆心坐标为（1，0），半径为1，而圆B：x2+y2+4x+4y50为（x+2）2+（y+2）213，圆心为（2，2），半径为，|AB|，且|AB|，圆A与圆B：x2+y2+4x+4y50的位置关系是相交故答案为：相交16三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，且AC2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为8解：因为ACAC2，可得底面ABC为直角三角形，再由侧棱垂直于底面，可此直三棱柱放在长方体中，由题意可得过同一顶点的三条棱长分别为：1，2
13、，设外接球的半径为R，则（2R）212+（）2+228，即4R28，所以外接球的表面积S4R28，故答案为：8三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）直线l经过两直线l1：3x+4y20和l2：2x+y+20的交点，且直线l与直线3x+y10垂直，求直线l的方程；（2）已知以C（4，3）为圆心的圆与圆O：x2+y21相切，求圆C的方程解：（1）联立，解得交点为（2，2），又直线l与直线3x+y10垂直，直线l的斜率为，则直线l的方程为y2（x+2），即x3y+80；（2）圆x2+y21的圆心坐标为O（0，0），|OC|若两圆内切，则圆C的半径为514，则圆C
14、的方程为（x4）2+（y+3）216；若两圆外切，则圆C的半径为5+16，则圆的方程为（x4）2+（y+3）236圆C的方程为（x4）2+（y+3）216或（x4）2+（y+3）23618如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）求证：平面PAC平面PBD；（3）当PAAB2，ABC时，求三棱锥CPBD的体积【解答】（1）证明：如图，设AC与BD的交点为O，连接OE，E为PD的中点，OEPB，OE平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC；（2）证明：PA平面ABCD，PABD，底面ABCD为菱形，BDAC，又PAACA，B
15、D平面PAC，而BD平面PBD，平面PAC平面PBD；（3）解：O为AC的中点，VCPBDVAPBD，PAAB2，ABC，三棱锥CPBD的体积为19已知向量（1）若时，求cos2xsin2x的值；（2）若，求的值解：（1）由向量，且得：，所以再将式代入sin2x+cos2x1得：故cos2xsin2x（2），所以，即因为，所以，所以cos2x所以sinsin2xcos+cos2x20如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在
16、平面垂直，所以AD半圆弦所在平面，CM半圆弦所在平面，CMAD，M是上异于C，D的点CMDM，DMADD，CM平面AMD，CM平面CMB，平面AMD平面BMC；（2）解：存在P是AM的中点，理由：连接BD、AC交于O，取AM的中点P，连接OP，连接PD，PB，可得MCOP，MC平面BDP，OP平面BDP，所以MC平面PBD21已知函数f（x）2sinxcosx+2cos2x1（xR）（）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值；（）若f（x0），x0，求cos2x0的值解：（1）由f（x）2sinxcosx+2cos2x1，得f（x）（2sinxcosx）+（2cos2x1）s
17、in2x+cos2x2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为因为f（x）2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数，又f（0）1，f（）2，f（）1，所以函数f（x）在区间0，上的最大值为2，最小值为1（）由（1）可知f（x0）2sin（2x0+）又因为f（x0），所以sin（2x0+）由x0，得2x0+，从而cos（2x0+）所以cos2x0cos（2x0+）cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin22在平面直角坐标系xoy中，直线l1：y2x4，l2：yx1，设圆C的半径为1，圆心在l1上（）若圆心C也在直线l2上，求圆C的方程；过点A（2，0）作圆C的切
18、线，求切线的方程；（）若圆在直线l2截得的弦长为，求圆C的方程解：（）由题设，圆心C是直线y2x4，yx1的交点，解得点C（3，2）所以圆的方程是（x3）2+（x2）21，由题可知，若切线的斜率不存在，直线x2是圆C的切线若切线的斜率存在，设其斜率为k，设切线方程为yk（x2），所以，解得，即3x4y60综上所求切线方程为y2和3x4y60；（）因为圆心在直线l1上，所以设圆心C的坐标为（a，2a4）因为圆在直线l2截得的弦长为，则半弦长为，且半径为1，所以圆心C到直线l2的距离为，即，所以|3a|1，截得a4或a2，所以圆心分别为（4，4），（2，0）所以所求圆C的方程为（x4）2+（y4）21或（x2）2+y21
