1、数学试卷第 1页(共 5 页)河北省“五个一”名校联盟 2023 届高三年级摸底考试数学试卷命题单位：邯郸市第一中学（满分：150 分,测试时间：120 分钟）第 I 卷（选择题,共 60 分）一、选择题：本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2280Ax xx,2,3,4,5B,则 AB（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,42.已知2 iz ,则 iz z （）A.62iB.42iC.62iD.42i3已知圆锥的高为1,母线长为6,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A.2B.52C.5 53D.34设0,若函数
2、()2cos()2f xx在,4 2 上单调递增,则 的取值范围是（）A.1(0,2B.3(1,2C.30,2D.(0,15如图,在底面半径为 1,高为 6 的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆则该椭圆的离心率为()A.22B.32C.53D.63数学试卷第 2页(共 5 页)6已知 82,且5sin 2 sincos2 sin4413，sin 2cos 4cos2 sin 433,则22sin的值为（）A.5 39B.96C.5 39D.967若过点(,)m n 可以作曲线2logyx的两条切线,则（
3、）A.2logmnB.2lognmC.2logmnD.2lognm8先后抛掷两枚质地均匀的骰子,甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是 1”,乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是 2”,丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是 8”,丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是 7”,则下列说法正确的有（）甲与乙相互独立乙与丁相互独立乙与丙不互斥但相互独立甲与丙互斥但不相互独立A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、选择题：本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9有 6 个相同的球,分别标有数
4、字 1,2,3,4,5,6,现从中有放回的取出 5 个球并记录取球结果,则下列统计结果中可能取出 6 号球的是（）A.平均数为 3,中位数为 2B.中位数为 3,众数为 2C.平均数为 2,方差为 2.4D.中位数为 3,极差为 210已知(cos,sin),(cos,3cos)axx bxxrr,函数()f xa br r,则下列选项正确的是()A.函数 f(x)的值域为1 3,2 2B.将函数1sin2yx图像上各点横坐标变为原来的 12（纵坐标不变）,再将所得图像向左平移12 个单位长度,可得函数()f x 的图像数学试卷第 3页(共 5 页)C.函数 f(x)是奇函数D.函数 f(x)
5、在区间20，内所有零点之和为143 11如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 1,P 是1A D 上的一个动点,下列结论中正确的是（）A.BP 的最小值为23B.PAPC的最小值为22C.当 P 在直线1A D 上运动时,三棱锥1BACP的体积不变D.以点 B 为球心,22为半径的球面与面 AB1C 的交线长为6 312已知圆221:()12C xy 上两点 A、B 满足2AB,点0,0M x满足:MAMB,则下列结论中正确的是（）A.当2AB 时,012x B.当00 x 时,过 M 点的圆 C 的最短弦长是 2 3C.线段 AB 的中点纵坐标最小值是 122D.过 M 点作圆
6、C 的切线且切点为 A,B,则0 x 的取值范围是77(,)22 第 II 卷（非选择题,共 90 分）三填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13已知函数 3()cosxxaef xex是偶函数,则a_.14设抛物线24 2yx的焦点为 F,准线为 l,过抛物线上一点 A 作 l 的垂线,垂足为 B设4 2 0C(,),AF 与 BC 相交于点 D若 CFAF,则ACD 的面积为_15.,212xxRexa,则 a 的最大值为_.数学试卷第 4页(共 5 页)16.德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19 岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是正十七边形尺
7、规作图之理论与方法.在其年幼时,对 1+2+3+100 的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数2()22xxf x,设数列na满足*121(0)()()()(1)()nnafffffnNnnn，若12,nnnnbabn则的前 项_.nS 和四解答题：本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.(本小题满分 10 分)已知正项数列 na满足11a ,且112 nnnnaaaa.(1)求数列 na的通项公式;(2)记21nnabn,求数列 nb的前 n 项和为nS,求证:11.
8、32nS18.(本小题满分 12 分)某学校组织“纪念共青团成立 100 周年”知识竞赛,有 A,B,C 三类问题,每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答,只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.A 类问题中的每个问题回答正确得 10 分,否则得 0 分;B 类问题中的每个问题回答正确得 20 分,否则得 0 分,C 类问题中的每个问题回答正确得 30 分,否则得 0 分.已知小康同学能正确回答 A 类问题的概率为 0.8,能正确回答 B 类问题的概率为 0.6,能正确回答 C 类问题的概率为 0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小
9、康按照 CBA 的顺序答题,记 X 为小康的累计得分,求 X 的分布列;（2）相比较小康自选的 CBA 的答题顺序,小康的朋友小乐认为按照 ABC 的顺序答题累计得分期望更大,小乐的判断正确吗？并说明理由.数学试卷第 5页(共 5 页)19.(本小题满分 12 分)已知 ABC的内角CBA,的对边分别为cba,若4,b 在()(sinsin)(sinsin)bcBCAC a,1cos3)(2cosBCA两个条件中任选一个完成以下问题：（1）求;B（2）若 D 在 AC 上,且,ACBD 求 BD 的最大值.20.(本小题满分 12 分)如图,ABCD 为圆柱OO的轴截面,EF 是圆柱上异于 A
10、D,BC 的母线.（1）证明:BE 平面 DEF;（2）若6 BCAB,当三棱锥 BDEF的体积最大时,求二面角 BDFE的正弦值.21.(本小题满分 12 分)已知双曲线 C:22221xyab 的离心率为 2,1F、2F 为它的左、右焦点,点 P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PFPFuuur uuur,126PF PF.（1）求 C 的方程;（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,在 x 轴上是否存在定点,0Q m,使得uur uuurQA QB 为定值,若存在,求出 m 的值和该定值;若不存在,请说明理由.2212012.()()ln().();():().本小题
11、满分分 已知函数（）讨论的零点个数（）证明xf xxax af xf exfxa答案第 1页(共 7 页)河北省“五个一”名校联盟 2023 届高三年级摸底考试数学参考答案一、单选题14:BADD58:BBBC二、多选题9.AB10.ABD11.BCD12.CD三、填空题13.114.3 215.116.12nn四、解答题17.【解析】(1)数列 na中,0na,由112 nnnnaaaa,可得2111nnaa.2 分又11111a,则数列1na是首项为 1 公差为 2 的等差数列,则12)1(211nnan,则数列 na的通项公式为121nan.4 分(2)由(1)知121nan,则1111
12、()21(21)(21)2 2121nnabnnnnn,6 分则数列 nb的前 n 项和111111111123352121221()()nSnnnL,8 分,012131,311210,312,*nnnNn.2131,1121132nSn10 分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为 0,30,50,601 分010.40.6P X 答案第 2页(共 7 页)300.410.60.16P X 500.4 0.6(10.8)0.048P X 600.40.60.80.192P X 5 分所以 X 的分布列为X0305060P0.60.160.0480.1926 分(2)由(1)知,
13、00.6300.16500.048600.19218.72E X 若小康按照 ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为 0,10,30,60010.80.2P Y 100.8 10.60.32P Y 300.8 0.6(10.4)0.288P X 600.8 0.6 0.40.192P X 10 分所以 00.2100.32300.288600.19223.36E Y 故小乐的判断正确12 分19.【解析】(1)若选,由正弦定理得,)()(acacbcb 2 分即,222acacb即,222acbca2221cos,222acbacBacac4 分(0,),3BBQ
14、 5 分若选cos2()3coscos2()3coscos23cos1,ACBBBBBQ 2 分答案第 3页(共 7 页),1cos31cos22BB即22cos3cos20,BB即2cosB(舍)或21cosB,4 分(0,),3Q BB 5 分(2)BDACQ,BD 为 AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.6 分法一：由余弦定理得,Baccabcos216222,由重要不等式得162acacac,当且仅当 a=c 时取等,.9 分所以34sin21BacS ABC.10 分所以 AC 边上的高的最大值为4 32 312 b.12 分法二：由正弦定理得 ABC外接圆的直径为8 32s
15、in3bRB,.7 分利用正弦定理表示面积得:11 8 38 3sinsinsinsin2233ABCSacBACB1 8 3 8 33216 32sinsin()sinsin()2332333AAAA8 34 3sin(2)363A4 3.10 分所以 AC 边上的高的最大值为322134b.12 分20.【解析】(1)证明：如右图,连接 AE,由题意知 AB 为O的直径,所以 AEBE.因为 AD,EF 是圆柱的母线,所以 ADEF且 ADEF,所以四边形 AEFD 是平行四边形.所以 AEDF,所以 BEDF.因为 EF 是圆柱的母线,所以EF 平面 ABE,又因为 BE 平面 ABE,
16、所以 EFBE.又因为 DFEFF,DF、EF 平面 DEF,所以 BE 平面 DEF.4 分(2)由(1)知 BE 是三棱锥 BDEF底面 DEF 上的高,由(1)知 EFAE,AEDF,所以EFDF,即底面三角形 DEF 是直角三角形.设 DFAEx,BEy,则答案第 4页(共 7 页)22:6Rt ABExy在中有,5 分所以2211166663326622B DEFDEFxyVSBExyxy,当且仅当3 yx时等号成立,即点 E,F 分别是 AB,CD的中点时,三棱锥 BDEF的体积最大,7 分(:另解 等积转化法:1.3B DEFD BEFD BCFB CDFCDFVVVVSBC,)
17、FCDEFABCD易得当 与距离最远时取到最大值 此时、分别为、中点下面求二面角 BDFE的正弦值：法一：由(1)得 BE 平面 DEF,因为 DF 平面 DEF,所以 BEDF.又因为 EFDF,EFBEE,所以 DF 平面 BEF.因为 BF 平面 BEF,所以 BFDF,所以BFE是二面角 BDFE的平面角,9 分由(1)知 BEF为直角三角形,则22363()()BF.故3sin3BEBFEBF,所以二面角 BDFE的正弦值为33.12 分法二：由(1)知 EA,EB,EF 两两相互垂直,如图,以点 E 为原点,EA,EB,EF 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Exyz,
18、则03 03 060 0 00 06(,),(,),(,),(,)BDEF.由(1)知 BE 平面 DEF,故平面 DEF 的法向量可取为03 0(,)EB uuur.设平面 BDF 的法向量为(,)nx y z,由(3,0,0),(0,3,6)DFBF,8 分得00n DFn BF ,即30360 xyz,即02xyz,取1z,得(0,2,1)n 10 分答案第 5页(共 7 页)设二面角 BDFE的平面角为,236coscos,333n EBn EBnEB r uurr uurruur,所以二面角 BDFE的正弦值为33.12 分21.【解析】(1)解法一：由2cea得：2ca,223bc
19、aa,120PF PFuuur uuurQ,12PFPF,在12Rt F PFV中,由122PFPFa得：222121224PFPFPF PFa,代入222124PFPFc,126PF PF 得:224124ca解得:23b ,21a ,双曲线方程为：2213yx .4 分解法二：由2cea得：2ca,223bcaa,设点,0P x yy,则点 P满足22221xyab,120PF PFuuur uuurQ,222,0cxycxyxcy ,即222xyc,121211222F PFSPF PycF,即3y c,则由得：2byc,代入得：23b ,21a ,双曲线方程为:2213yx .4 分(
20、2)解法一:当l 斜率不存在时,:2l x,此时2,3A,2,3B,2(2)9QA QBm，uur uuur当l 斜率为 0 时,:0l y,此时1,0A,10B,21QA QBmuur uuur；QA QB若为定值，uur uuur22:(2)91.,0,1mmmQA QB 则有解得uur uuur:(1 0),:0.QA QBQuur uuur下证 当 为，时 恒有；6 分当l 斜率存在时,设:2l yk x,11,A x y,22,B xy,联立22233yk xxy 得222234430kxk xk,则236360k,212243kxxk,2122433kx xk,8 分121211Q
21、A QBxxy yuur uuur212121212124x xxxkx xxx 答案第 6页(共 7 页)222121212114kx xkxxk 10 分22222224341211433kkkkkkk 222241(3)410.3kkkk 综上所述：存在1m ,使得0QA QBuur uuur；12 分解法二：当l 斜率为 0 时,:0l y,此时1,0A,10B,由,0Q m得：21QA QBmuur uuur；6 分当l 斜率不为 0 时,设:2l xty,11,A x y,22,B xy,联立22233xtyxy得：22311290tyty,则236360t,1221231tyyt
22、,122931y yt,8 分 11221212,QA QBxm yxm yxmxmy yuur uuur2212121212(2)(2)(1)(2)()(2)tym tymy ytyym t yym2222222129(1215)9(1)(2)(2)(2)313131tmttm tmmttt,10 分若uur uuurQA QB 为定值,则1215931m ,1m ,1,0Q,此时0QA QBuur uuur；当1m ,l 斜率为 0 时,210QA QBm uur uuur；综上所述,存在1m ,使得0QA QBuur uuur；12 分2minlnlnln122.(1)()ln0,(),
23、()(0,),()0,(,),()0,()(0,)1(,),()(),20,();,()0,()xxxf xxaxag xg xxxxxeg xxeg xg xeeg xg eexg xxeg xxg x 【解析】令则设当时时在上单调递减，在上单调递增分时当时且时LLLLLLLLLLLLLLLLLQ0,311,(),0,(),af xaaf xee 分当时无零点 当或时有一个零点LLLLLLL答案第 7页(共 7 页)10,().5LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLaf xe当时有两个零点分ln()()()(2),()(),7ln10(0)ln10(0),:()10(0)8()
24、1,()1,(,0)xatatattf xxxxf exf etff taxaatetatttatettf xexh xxeh xex 设则分即证，即证即证，分设则当时LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0,(1),()0 xh xxh xh xh xh xhxexaxef x 当时在单调递减在，单调递增，分当且仅当时成立 由知 当时 存在使得LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL()11()()10,().12xf xf exf xefxa 分分LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
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