1、2020新亮剑高考总复习 第四单元 曲线运动 万有引力与航天 磨剑：课前自学 真题体验 素养达成 知识清单 考点巧讲悟剑：课堂精讲 课时4 万有引力与航天 知识清单 必备知识 1.开普勒行星运动三定律 定 律 内 容 图 示 开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 说明:不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的 知识清单 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 说明:行星在近日点的速率大于在远日点的速率 开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 说明:表
2、达式32=k 中,k 值只与中心天体有关 知识清单 2.万有引力定律 (1)对万有引力定律表达式 F=G122 的说明 引力常量 G:G=6.6710-11 Nm2/kg2;其物理意义:两个质量都是 1 kg 的质点相距1 m 时,相互吸引力为 6.6710-11 N。距离 r:公式中的 r 是两个质点间的距离,对于质量均匀分布的球体,就是两球心间的距离。(2)适用条件 两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时,物体可视为质点;r 为两物体间的距离。对质量分布均匀的球体,r 为两球心的距离。知识清单 (3)万有引力的四个特性 普遍性:万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与
3、月球之间,宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力。相互性:两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是满足大小相等,方向相反,作用在两个物体上。宏观性:地面上的一般物体之间的万有引力比较小,与其他力比较可忽略不计,但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间,万有引力起着决定性作用。特殊性:两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无关,也与周围是否存在其他物体无关。知识清单 3.万有引力定律的应用 (1)地球的质量的计算 依据:对地球表面的物体,若不考虑地球自转,则物体的重力等于地球对物体的万有引力,即mg=2。结论:M
4、=2,只要知道 gR 的值,就可以计算出地球的质量。天体密度:=34。(2)太阳的质量 依据:质量为 m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时,行星与太阳间的万有引力提供向心力,即2=42mR2。结论:M=4232,只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 R 就可以计算出太阳的质量。若已知天体半径为 r,则天体密度=3323。知识清单(3)其他行星的质量计算:同理,若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离 R,可计算出行星的质量 M,公式为 M=4232。若已知天体半径 r,则天体的平均密度=3323。若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R,则天体密度
5、=32。可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T,就可估算出中心天体的密度。D 答案 基础过关 知识清单 1.(2018 四川绵阳 11 月模拟)如图所示,人造卫星 B、A 在同一平面内绕地心 O 做匀速圆周运动。已知 B、A 连线与 B、O 连线间的夹角最大为,则 B、A 的运动周期之比等于()。A.sin3 B.1sin3 C.sin3 D.1sin3 AC 答案 知识清单 2.(2018 浙江温州 9 月月考)(多选)如图所示,近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为 T 卫、T 月,地球自转周期为 T 地,则()。A.T 卫T 月 C.T 卫T
6、地 D.T 卫=T 地 B 答案 知识清单 3.(2018 福建福州 12 月月考)万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一:“地上物理学”和“天上物理学”的统一,它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道,还应用到了其他的规律和结论。下面的规律和结论没有被用到的是()。A.开普勒的研究成果 B.卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量 C.牛顿第二定律 D.牛顿第三定律 D 答案 知识清单 4.(2018 浙江宁波 12 月模拟)如图所示,有人设想通过“打穿地球”从中建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷。如只考虑物体间的万有引力,则从隧
7、道口抛下一物体,物体的加速度()。A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 B 答案 知识清单 5.(2018 山东菏泽 10 月联考)如图所示,在圆轨道上运行的国际空间站里,一宇航员 A 静止(相对于空间舱)“站”在舱内朝向地球一侧的“地面”B 上。则下列说法中正确的是()。A.宇航员不受重力作用 B.宇航员所受重力与他在该位置所受的万有引力相等 C.宇航员与“地面”之间的弹力大小等于重力 D.宇航员将小球无初速度(相对空间舱)释放,球将落到“地面”上 ACD 答案 知识清单 6.(2018 河北唐山 12 月调研)(多选)一行星绕恒星做圆周运动,由天文观测可得,其运行
8、周期为 T,速度为 v,引力常量为 G,则()。A.恒星的质量为32 B.行星的质量为4232 C.行星运动的轨道半径为2 D.行星运动的加速度为2 B 答案 知识清单 7.(2018 辽宁大连 10 月模拟)组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转。如果某质量分布均匀的星球自转周期为 T,引力常量为 G,为使该星球不至于瓦解,该星球的密度至少是()。A.42 B.32 C.22 D.2 B 答案 知识清单 8.(2015 江苏卷,3)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动,
9、周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120,该中心恒星与太阳的质量比约为()。A.110 B.1 C.5 D.10 C 真题体验 答案 1.(2018 全国卷,16)2018 年 2 月,我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318+0253”,其自转周期 T=5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知引力常量为 6.6710-11 Nm2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为()。A.5109 kg/m3 B.51012 kg/m3 C.51015 kg/m3 D.51018 kg/m3 解 析 真题体验 设脉冲星质量为 M,密度为,
10、则根据天体运动规律知2 m 2 2R,根据密度公式可知=433,联立解得 32,代入数据可得密度最小值 min51015kg/m3,故 C 项正确。C 答案 真题体验 2.(2018 全国卷,15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星 P,其轨道半径约为地球半径的 16 倍;另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。P 与 Q 的周期之比约为()。A.21 B.41 C.81 D.161 解 析 真题体验 设地球半径为 R,根据题述,地球卫星 P 的轨道半径RP=16R,地球卫星 Q 的轨道半径 RQ=4R,根据 G2=m422 r,得 2 2=3 3=64,所以 P 与 Q
11、 的周期之比 TPTQ=81,C 项正确。考点巧讲 一 开普勒行星运动定律的运用 对开普勒行星运动定律的理解:(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理,若按椭圆轨道处理,则利用其半长轴进行计算。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律32=k 中,k 值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体对应的 k 值不同。2018 年 10 月 12 日晚,“木星合月”天象现身苍穹。地球和木星绕太阳的运动可近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动,已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的 5.2 倍,估算木星与地球距离最近的相邻两次时间间隔约为()。A.0
12、.5 年 B.1.1 年 C.1.5 年 D.2 年 B 例1 答案 解析 考点巧讲 地球、木星都绕太阳运动,所以根据开普勒第三定律可得地3地2=木3木2,即 T 木=木3地3T 地11.9 年,设经时间 t 两星又一次距离最近,根据=t,则两星转过的角度之差=2地-2木 t=2,解得 t1.1 年,B 项正确。考点巧讲 二 万有引力定律的理解 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力 F 表现为两个效果:一是重力 mg,二是提供物体随地球自转的向心力F 向,如图所示。(1)在赤道处:G2=mg1+m2R。(2)在两极处:G2=mg2。(3)在一般位置:万有引力 G2 等于重力 mg 与
13、向心力 F 向的矢量和。越靠近南、北两极,g 值越大。在两极处,由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即 G2=mg。考点巧讲 2.天体的重力加速度(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即G2=m2r=m 2 2r=2=ma。(2)物体在中心天体表面或附近运动时,受到的万有引力近似等于重力,即 mg=G2(g 表示天体表面的重力加速度)。在行星表面处有 mg=G2,所以 g=G2。在离地面高为 h 的轨道处的重力加速度满足 mg=G(+)2,得 g=G(+)2。考点巧讲 3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解 两物体相互作用的万有引力是一对作
14、用力和反作用力。地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力。(2)两个推论 推论 1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F 引=0。推论 2:在匀质球体内部距离球心 r 处的质点(质量为 m)受到的万有引力等于球体内半径为 r 的同心球体(质量为 M)对其的万有引力,即F=G2。例2 答案 A 考点巧讲 假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()。A.1-B.1+C.(-)2 D.-2 解析 考点巧讲 如图所示,根据题意,地面与矿井底部之间的环形部分对处于
15、矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为 g,地球质量为 M,地球表面的质量为 m的物体受到的重力近似等于万有引力,故 mg=G2;设矿井底部处的重力加速度为g,等效“地球”的质量为 M,其半径 r=R-d,则矿井底部处的质量为 m 的物体受到的重力 mg=G2,又 M=V=43R3,M=V=43(R-d)3,联立解得=1-,A 项正确。变式1 答案 C 考点巧讲 2020 年“深海一号”将搭载“蛟龙”号执行载人深潜环球科考。若地球半径为 R,把地球看作质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。“蛟龙”下潜深度为 d,“天宫二号”轨道距离地面高度为 h,“蛟龙”号在
16、此处与“天宫二号”在此处的加速度之比为()。A.-+B.(-)2(+)2 C.(-)(+)23 D.(-)(+)2 解析 考点巧讲 令地球的密度为,则在地球表面,重力和地球的万有引力大小相等,有 g=G2,由于地球的质量 M=43R3,所以重力加速度的表达式可写成:g=2=4332=43GR。质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,故在深度为 d 的地球内部,受到地球的万有引力即半径等于(R-d)的球体在其表面产生的万有引力,故“蛟龙”号的重力加速度 g=43G(R-d),所以有=-。根据万有引力提供向心力 G(+)2=ma,“天宫二号”的加速度a=(+)2,所以=2(+)2,=(-)(+)2
17、3,故 C 项正确,A、B、D 三项错误。考点巧讲 三 天体质量及密度的计算 天体质量和密度常用的估算方法 使用方法 已知量 利用公式 表达式 质量的计算 利用运行天体(只能得到中心天体的质量)r、T GMmr2=mr42T2 M=42r3GT2 r、v GMmr2=mv2r M=rv2G v、T GMmr2=mv2r GMmr2=mr42T2 M=v3T2G 利用天体表面重力加速度 g、R mg=GMmR2 M=gR2G 考点巧讲 密度的计算 利用运行天体 r、T、R GMmr2=mr42T2 M=43R3=3r3GT2R3 当 r=R 时=3GT2 利用天体表面重力加速度 g、R mg=2
18、 M=43R3=3g4GR 例3 答案 考点巧讲 我国计划于 2020 年 7 月发射火星探测器,火星探测系统由环绕器和着陆巡视器组成,其中着陆巡视器主要功能为实现火星表面开展巡视和科学探索。若环绕器环绕火星的运动为匀速圆周运动,火星半径为 R,引力常量为 G,着陆巡视器第一次落到火星后以 v0的速度竖直弹起后经过 t0时间再次落回火星表面。求火星的密度。考点巧讲(1)利用卫(行)星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量。计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力。由 G2=m422 r,解得M=4232;=433
19、=3323,R 为中心天体的半径,若为近地卫星,则 R=r,有=32。由上式可知,只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径 r 及运行周期 T,就可以算出中心天体的质量 M。若再知道中心天体的半径,则可算出中心天体的密度。(2)利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R,可得天体质量 M=2,天体密度=433=34。规律小结 解析 考点巧讲 根据竖直上抛运动的基本规律可知 火星表面重力加速度 g=002=200 根据火星表面万有引力等于重力得 G2=mg 火星密度=433 联立解得=3020。变式2 答案 B 考点巧讲 “嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器
20、在 2017 年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空,自动完成月面样品采集,并从月球起飞,返回地球,带回约 2 kg 月球样品。某同学从网上得到一些信息,如表格中的数据所示,请根据题意,判断地球和月球的密度之比为()。月球半径 R0 月球表面处的重力加速度 g0 地球和月球的半径之比 RR0=4 地球表面和月球表面的重力加速度之比 gg0=6 A.23 B.32 C.4 D.6 解析 考点巧讲 利用题给信息,对地球,有 G2=mg,得 M=2 又 V=43R3 得地球的密度:=34 对月球,有 G0m02=mg0,得 M0=002 又 V0=4303 得月球的密度:0=00=3
21、040 则地球的密度与月球的密度之比0=32,故 A、C、D 三项错误,B项正确。素养达成 思想方法 填补法求解万有引力 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件,先填补后运算,运用“填补法”解题主要体现了等效思想。如图所示,在半径为 R 的铅球中挖出一个球形空穴,空穴直径为 R 且与铅球相切,并通过铅球的球心,在未挖出空穴前铅球质量为 M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为 d、质量为 m 的小球(可视为质点)间的万有引力大小。例4 (-+)(-)答案 解析 素养达成 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为 F1,挖出的球形实体(由球体的体积公式易知质量为8)与小球间的万有引力为
22、 F2,铅球剩余部分与小球间的万有引力为 F,则有 F1=F+F2 根据万有引力定律可得 F1=G2,F2=G8-2 2 故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力 F=F1-F2=(72-8+22)22(2-)2。变式3 答案 素养达成 如图所示,一个质量为 M 的匀质实心球,半径为 R,如果从球中挖去一个直径为 R 的小球,放在相距 d=2.5R 的地方,分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小。(答案必须用分式表示,已知 G、M、R)甲 乙 (1)从球的正中心挖去。(2)从球心右侧挖去。(2)(1)解析 素养达成 半径为 R 的匀质实心球的密度=433 挖去的直径为 R 的球的质量 m=43 2 3=8。(1)从球的中心挖去时 F=G2-G2=72642=724002。(2)从球心右侧挖去时 F=G2-G -2 2=2502-22562=103264002。