1、武汉市部分重点中学 20222023 学年度上学期十月联考高二数学试卷命题学校：洪山高中命题教师：徐敏审题教师：李爱芳考试时间：2022 年 10 月 13 日下午 18:0020:00试卷满分：150 分一单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分.1.过点 P（2，m）和 Q（m，4）的直线斜率等于 1，那么 m 的值等于（）A.1 或 3B.4C.1D.1 或 42.已知向量a=(4,4,5),b=(7,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1 l2,则下列几组解中可能正确的是()A.x=1,y=3B.x=4,y=3C.x=2,y=4D.x=6,y=23.直线l 绕它与 x 轴的交点
2、逆时针旋转 3，得到直线330 xy，则直线l 的方程是（）A.310 xy B.330 xyC.310 xy D.310 xy 4.已知 A，B，C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任意一点，若2156OMOAOBOC，则 A，B，C，M 四点共面的充要条件是（）A.1730 B.1330 C.1730 D.1330 5.已知直线21:20lxyt和直线 2:24230lxyt，则当 1l 与 2l 间的距离最短时，t 的值为（）A.1B.12C.13D.26.已知矩形 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA 平面 ABCD，M，N 分别为 PC，PD 上的点，且2PMMC，PN
3、ND，NMxAByADzAP，则 xyz（）A.23B.23C.1D.567.如图，在三棱锥VABC中，60AVBBVCCVA ，VAVBVC，若三棱锥VABC的内切球 O 的表面积为 6，则此三棱锥的体积为()A 6 3B18 3C 6 2D18 28.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，E、F 分别是棱1AA、11AD 的中点，点 P 为底面 ABCD内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面 BEF无公共点，则点 P 的轨迹长度为（）A21B5C322D6二多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）9.下列结论正确的是（）A.若v直线 l 方向向量，l
4、 平面，则()vR 是平面 的一个法向量B.坐标平面内过点 00,P xy的直线可以写成220000A xxB yyABC.直线 l 过点(2,3)，且原点到 l的距离是 2，则 l 的方程是512260 xyD.设二次函数(2020)(2021)yxx的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为(0,1)10.已知直线 1:0laxyb，2:0lbxya，当,a b 满足一定的条件时，它们的图形可以是（）A.B.C.D.11.正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，已知平面1AC，则关于 截此正方体所得截面的判断正确的是（）A截面形状可能为正三角形B截面形
5、状可能为正方形C截面形状可能为正六访形D截面面积最大值为3 312.正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，下列结论正确的有（）A.AD 与 BC 所成的角为30B.AC 与 BD 所成的角为90C.BC 与面 ACD 所成角的正弦值为33D.平面 ABC 与平面 BCD的夹角的正切值是2CDEBPA三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13.设 aR，则“1a”是“直线 1l：210axy 与直线 2l：(1)40 xay平行”的 _条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）14.大约 2000 多年前，我国的墨子就给出了圆的概念：“一中同长也.”意思是说，圆有一个圆
6、心，圆心到圆周上的点的距离都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里德给出的圆的定义要早 100 年.已知O 是坐标原点，3OP，若13(,)22M，则线段 PM 长的最小值是_15.设平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 E,P 为空间任意一点,如图所示,若 PA+PB+PC+PD=xPE,则 x=_.16如图，矩形 ABCD 中，aBCAB,1，PA平面 ABCD，若在线段 BC 上至少存在一个点Q 满足DQPQ，则 a 的取值范围是_.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.17(本小题 10 分)如图：已知四棱锥ABCDP 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形
7、，E 是 PA 的中点，求证：（1）PC/平面 EBD；（2）BC平面 PCD.18.(本小题 12 分)已知直线l1:2x y+1=0 和 l2:x y 2=0 的交点为 P.(1)若直线 l 经过点 P 且与直线l3:4x 3y 5=0 平行,求直线 l 的方程;(2)若直线 m 经过点 P 且与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,P 为线段 AB 的中点,求 OAB 的面积(其中 O 为坐标原点).19.(本小题 12 分）已知 ABC 中，点 A 1,5，边 BC 所在直线l1的方程为 7x y 18=0，边 AB上的中线所在直线l2的方程为 y=x.(1)求点 B 和点 C 的坐
8、标；(2)以 M 3,2 为圆心作一个圆，使得 A，B，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.20.(本小题 12 分）在三棱柱111ABCA B C中，1ABAC，13AA，ABAC，1BC 平面 ABC，E 是1B C 的中点.（1）求证：平面1ABC 平面11ABB A；（2）求直线 AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值.21.(本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 平面 ABCD,AC AD,AB BC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)证明:PC AD;(2)求平面 PAC 与平面 PCD 夹角的余弦值;(3)设
9、E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为30,求 AE 的长.22.如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径4AB，母线22PH，M是 PB的中点，四边形OBCH 为正方形（1）设平面 POH 平面 PBCl；证明：/lBC；（2）设 D 为 OH 的中点，N 是线段 CD 上的一个点，当 MN 与平面 PAB所成角最大时，求 MN 的长-1-答案 CCBBB BDB BDACACDBD 13.充分不必要 14.2 15.4 162a 17.（1）连 BD，与 AC 交于O，连接 EO ABCD是正方形，O 是 AC 的中点，E 是 PA 的中点，E
10、OPC 又 EO 平面 EBD，PC 平面 EBD PC P 平面 EBD；5 分（2）PD 平面 ABCD，BC 平面 ABCD BCPD ABCD是正方形，BCCD又 PDCDD BC 平面 PCD 5 分 18.解：（1）由21020 xyxy，解得：35xy ，可得直线 1:210lxy 和 22:0 xyl的交点为3,5P ，.2 分 由于直线 l3 的斜率为 43，.1 分 故过点 P 且与直线 3 43:50 xyl平行的直线 l 的方程为4533yx，即 4330 xy；.2 分（2）由题意知：直线 m 的斜率存在且不为零，设直线 m 的斜率为 k，则直线 m 的方程为53yk
11、 x，由于直线 m 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且3,5P 为线段 AB 的中点，故：53,0,0,35ABkk，53323552kk ，解得53k ，故 6,0,0,10AB，.4 分 故 OAB 的面积为 116 103022OA OB.1 分 19.（1）-2-设，的中点，由题意可得直线的直线方程：，则，解得，解得，故，.（2），由，则圆方程为.20（1）由1B C 平面 ABC，AB平面 ABC，得1ABB C，2 分 又 ABAC，1CBACC，故 AB 平面1AB C，4 分 AB平面11ABB A，故平面11ABB A 平面1AB C.6 分（2）以C 为原点，CA
12、 为 x 轴，1CB 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0C，1,0,0A，1,1,0B 8 分 又2BC，113BBAA，故11CB ，1 0,0,1B，10,0,2E ，1,0,0CA 111,1,1AABB ，11,0,2AE 设平面11AAC C 的一个法向量为,nx y z，则 100n CAn AA ，即00 xxyz，令1y ，则1z ，0,1,1n r，11 分 设直线 AE 与平面11AAC C 所成的角为，故1102sin101214n AEn AE，15 分 -3-即直线 AE 与平面11AAC C 所成角的正弦值为1010.21.（本小题满分 12 分）
13、证明：PA 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，PAAD，ACAD，PAACA，PA、AC 平面 PAC，AD平面 PAC，又 PC 平面 PAC，PCAD.3 分（2）解：过点 A 作 AMPC于 M，连接 DM，由（1）知，AD 平面 PAC，AMD即为平面 PAC 与平面 PCD所成的角 在 Rt PAC中，2PA，1AC ，5PC，2 12 555PA ACAMPC，在 Rt DAM中，2tan52 55ADAMDAM，6cos6AMD，故平面 PAC 与平面 PCD夹角的余弦值为66.4 分（3）解：以 A 为原点，AD、AC、AP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空
14、间直角坐标系，设(0)AEm m，则1(2B，12，0)，(0C，1，0)，(2D，0，0)，(0E，0，)m，1(2BE，12，)m，(2CD，1，0)，异面直线 BE 与CD 所成的角为30，cosBE，2112cos30|11544BE CDCDBECDm，解得1010m 或1010（舍负），1010AE.5 分 22.（1）证明：四边形OBCH 是正方形，/BCOH，-4-BC 平面 POH，OH 平面 POH，/BC平面 POH，BC 平面 PBC，平面 POH 平面 PBCl，/lBC；（2）圆锥的母线长为 2 2，4AB，2OB，2OP，以 O 为坐标原点，OH 所在直线为 x
15、轴，OB 所在直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0P，0，2)，(0B，2，0)，(1D，0，0)，(2C，2，0)，(0M，1，1)，2225135|()()(1)333MNMN 设(DNDC，2，0)，(01)剟，(1ONODDN，2，0)，(1MNONOM，21 ，1)，OD （1，0，0）为平面 PAB 的一个法向量，设 MN 与平面 PAB 所成角为，1t，则22211sin12113751210510()10()55tttttt，当135t 时，即23 时，sin 最大，此时 最大，5 1(,1)3 3MN，2225135|()()(1)333MNMN
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