1、课时过关检测(十六) 导数与不等式的证明1已知函数f(x)x2ln x(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：x2x解：(1)f(x)x2ln x的定义域是(0，)，f(x)2x，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增；当0x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递减，综上，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为(2)证明：由x0，要证x2x，即证f(x)x3x2xx3xln x0，令g(x)x3xln x(x0)，则g(x)x2，令t(x)3x3x4(x0)，t(x)9x210恒成立，t(x)在(0，)上单调递增，又t(1)0，即g(1)0，当x(0,1)时，t(x)0，即g(x)0，
2、即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，g(x)最小值g(x)极小值g(1)0成立，所以原不等式成立2(2022许昌二模)已知函数f(x)x2ax3，g(x)xln x，aR(1)当x0时，2g(x)f(x)，求a的取值范围；(2)证明：当x0时，g(x)解：(1)当x0时，2g(x)f(x)，即2xln xx2ax3，即a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)1，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)在(1，)上单调递增，h(x)minh(1)4，则a4实数a的取值范围为(，4(2)证明：g(x)xln x，g(x)1ln x，令g(x)0，x，当x时g(x)0，函数g
3、(x)在上单调递减，在上单调递增，当x0时，g(x)ming，令(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，(x)max(1)，又两个等号不同时成立，故当x0时，g(x)3已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex0解：(1)f(x)a(x0)若a0，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若a0，则当0x0；当x时，f(x)0，所以只需证f(x)2e，当ae时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以f(x)maxf(1)e，记g(x)2e(x0)，则g(x)，所以
4、当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)ming(1)e，综上，当x0时，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex04(2022衡水模拟)已知函数f(x)(x1)(x22)ex2x(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)证明：f(x)x24解：(1)因为f(x)2x(x1)exx(x22)ex2x2(x2)ex2，所以f(0)2因为f(0)2，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为2xy20(2)证明：要证f(x)x24，只需证(x1)(x22)exx22x4，设g(x)x22x4(x1)23，h(x)(x1)(x22
5、)ex，则h(x)x2(x2)ex由h(x)0，得x2，故h(x)在2，)上单调递增；由h(x)0，得x3又g(x)max3，所以g(x)maxx22x4，即f(x)x245已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30(1)求a，b的值；(2)证明：当x0，且x1时，f(x)解：(1)f(x)(x0)由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)，故即解得a1，b1(2)证明：由(1)知f(x)(x0)，所以f(x)考虑函数h(x)2ln x(x0)，则h(x)所以当x1时，h(x)0而h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(
6、x)0，可得h(x)0从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x)6(2022莆田模拟)已知函数f(x)ln xax，aR(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当a时，证明：x3f(x)解：(1)f(x)的定义域为(0，)由已知得f(x)a(x0)，则：当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)在(0，)上单调递增当a0，得x，则f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当af(x)即x3ln xx考虑到x0时，x1ln x，欲证x3ln xx，只需证x3x1x设g(x)x3x1(x0)，则g(x)3x2(x0)，令g(x)0，解得x，令x0，则当
7、x(0，x0)时，g(x)0，所以g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增所以g(x)g(x0)11，易知0，所以x3x1x(x0)恒成立，所以x3ln xx恒成立，即x3f(x)法二：当a时，x3f(x)可化为x2令m(x)x1，x0，则m(x)(x0)，令h(x)x2ln x1，x0，则h(x)2x0，所以h(x)在(0，)上单调递增，又h(1)0，所以当x(0,1)时，h(x)0，则m(x)0，则m(x)0，所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以m(x)m(1)0，即x1，当且仅当x1时，等号成立又x2(x1)x2x20，所以x2x1，当且仅当x时，等号成立因为两个等号不同时成立，故x2，即x2，即x3ln xx，即x3f(x)