1、10.3 复数的三角形式及其运算 第十章 复 数 学习目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解辐角、辐角主值等概念.4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.重点：复数的三角表示.难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义.知识梳理 一、复数的三角形式【尝试与发现】设复数z1+3i在复平面内对应的点为Z，（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；（2）记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出的任意一个值，探讨r，与z1+3i的实部、虚部之间的关系.（1，3）=2=31=cos,3=
2、sin复数的三角形式的定义：一般地，如果非零复数za+bi（a，b）在复平面内对应点Z（a，b），且r为向量的模，是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则 r|z|2+2，根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos，sin.因此arcos，brsin，如图所示，从而 za+bi（rcos）+（rsin）ir（cos+isin），上式的右边称为非零复数za+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2的整数倍.特别地，在0，2）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.【名师点拨】为了求出一
3、个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.例如，对于复数z1+i来说，因为|z|221(3)2，cos 12，sin 32，所以可取arg z 3，从而z1+i的三角形式为 z 2 cosisin33.这也可以通过如下方式得到.z1+i222222131(3)i1(3)1(3)132 22 i 2 cosisin33.因为 00（cos+isin），其中可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.【特别提示】（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法，它们可以相互转化.（2）复数的代数
4、形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.二、复数三角形式的乘除法 1.复数三角形式的乘法法则【尝试与发现】设z1r1（cos 1+isin 1），z2r2（cos 2+isin 2），试求出z1z2.提示：z1z2r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2）r1r2（cos 1cos 2-sin 1sin 2）+i（sin 1cos 2+cos 1sin 2）r1r2cos（1+2）+isin（1+2）.由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r1（cos 1+isin 1）
5、r2（cos 2+isin 2）r1r2cos（1+2）+isin（1+2）.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘）z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角（简记：辐角相加）例如，266cosisin 22cosisin 26262cosisin2 2 2 cosisin33.2.复数三角形式乘法的几何意义 设z1，z2对应的向量分别为1，2，将1绕原点旋转2，再将1的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数即为z1z2，如图所示.当20时，按逆时针方向旋转角2，当20时，按顺时针方向旋转角 2.又因为cos 2+i sin 2i，所以一个复数与i相乘，从向量的角度来说
6、，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转2，如图所示.上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.特别地，如果n，则 r（cos+isin）n rncos（n）+isin（n）.3.复数三角形式的除法法则【尝试与发现】如果非零复数z的三角形式为zr（cos+isin），利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出 的三角形式，并求出z 的值.提示：一般地，如果非零复数zr（cos+isin），那么-是 的一个辐角，因此 rcos（-）+isin（-），而且z r（cos+isin）rcos（-）+isin（-）r2cos（-）+isin（-）
7、r2.由z r2,可得1z 2，即1(cos+isin)1rcos（-）+isin（-）.这样一来，如果z1r1（cos 1+isin 1），z2r2（cos 2+isin 2）（z20），则 z1z2z1 1z2r1（cos 1+isin 1）1r2cos（-2）+isin（-2）r1r2cos（1-2）+isin（1-2）.即1(cos1+isin1)2(cos2+isin2)12cos（1-2）+isin（1-2）.模相除辐角相减4.复数三角形式除法的几何意义 设两个复数z1，z2对应的向量分别为1，2，把向量1绕原点O按顺时针方向旋转角2（如果20时，ra，cos 0，sin-1，其辐
8、角主值32；当a0时，其辐角主值0；当a0时，r-a，cos 0，sin 1，其辐角主值 2.2.将复数的三角形式化为代数形式例2将复数3 2 cos23 +isin 23 化为代数形式为 .【解析】223 233cosisin133 222 i3 22+3 62 i.【答案】3 22+3 62 i 将复数的三角形式化为代数形式的一般方法1.计算出cos，sin 的值；2.整理为a+bi（a，bR）的形式，其中arcos，brsin.训练题1.复数z4 cos 3+isin 3 对应的点在第 象限.2.已知z14 cos3+isin3，z2 3 cos56+isin56，则z1+z2对应的点在
9、第 象限.一一二、利用复数的三角形式进行复数的乘除运算1.复数的乘法运算例35 cos 6+isin 6 2 cos 4+isin 4 .【解析】626210i44 5 65 22+5 65 22i.【答案】5 65 22+5 65 22i 复数的乘法运算1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的乘法公式进行计算，即r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2）r1r2 cos(1+2)+i sin(1+2).2.若复数为代数形式，可以先化为三角形式再进行计算，也可利用代数形式计算.训练题 1.计算：（1）13132222ii（2+2i）.（2）（1+i）7 .2.设z为复数，
10、且z的辐角主值为 6，z-2的辐角主值为23，则复数z为（）A.-2+i B.32+32 i C.-32+32 i D.1+i 2+2i64+64 3i B2.复数的除法运算 例4 5(3)13ii .【解析】5(3)13ii52 cosisin662 cosisin33 553266233cosisincosisin1622cosisin 16i.【答案】16i 复数的除法运算1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的除法公式进行计算，即1(cos1+isin1)2(cos2+isin2)12cos（1-2）+isin（1-2）.2.若复数为代数形式，较为简单的可直接利用代数形式进行计算，较为
11、复杂的可以转化为三角形式后再计算，对含有乘方运算的，一般是先化为三角形式再进行计算.训练题 1.444cosisin .2.若复数z的模为2，辐角主值为23，则zi （）A.1+i B 1-i C-i D.+i 2 2 2 2iD3.计算下列各式：（1）（cos 36+isin 36）-5；（2）42 cosisin33.解：（1）（cos 36+isin 36）-551(3636)cosisin 1180180cosisin -1.（2）42 cosisin33 412 cosisin334144233cosisin cos 0isin 04 4 16 cosisin3314 4 cosis
12、in1633132+332 i.三、复数乘法和除法的几何意义及其应用例5 设复数z1 3+i，复数z2满足|z2|2，已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2（0，），求z2的代数形式.【解题提示】将复数的代数形式化为三角形式，利用复数乘法的几何意义求得z2的三角形式，再将三角形式转化为代数形式.【解】z1 266cosisin.设z22（cos+isin），（0，），z1z228 cos 2isin 266.由题设知2+62k+32（kZ），k+23（kZ）.又（0，），23，z222233cosisin-1+3 i.训练题 1.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为和，则+等于
13、（）A.135 B.315 C.675 D.585 2.设复数z12sin+icos 42在复平面上对应向量1OZ，将向量1oz 绕原点O按顺时针方向旋转34后得到向量2OZ，2OZ 对应复数z2r（cos+isin），则tan （）A.2121tantan B.2121tantan C.121tan D.121tan CA3.已知复数z满足2+2+40，且arg 2，.（1）求的三角形式；（2）记A，B，C分别表示复数，2在复平面上的对应点.已知A，B，C三点成逆时针顺序，且ABC为等边三角形，求arg.解：（1）由z2+2z+40，得z（-22 3 i）-1 3 i.arg z,2，z-1
14、-3 i应舍去，z-1+3 i22233cosisin.（2）由题意，CA：z-（-2）z+2，CB：-（-2）3，由ABC为等边三角形，知|CA|CB，又ACB 3，A，B，C位置成逆时针顺序，把CA 绕点C按逆时针方向旋转 3后即得CB，3（z+2）cos 3+isin 3.将z2 cos 23+isin 23代入上式，解得 27 （2+3 i）.故点B在第三象限.又可得tan（arg）32，所以arg+arctan.小结 1.复数的三角形式 za+bir（cos+isin）的右边称为非零复数za+bi的三角形式，其中的称为z的辐角.在0，2）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.2.复数三角形式的乘法法则 r1（cos 1+isin 1）r2（cos 2+isin 2）r1r2cos（1+2）+isin（1+2）.3.复数三角形式的除法法则 1(cos1+isin1)2(cos2+isin2)12cos（1-2）+isin（1-2）.模相乘，辐角相加.模相除，辐角相减.