1、第二单元 函数与导数 知识框架 第二单元 知识框架 第二单元 知识框架 考纲要求 第二单元 考纲要求 1函数概念与基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)(1)函数了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数了解简单的分段函数，并能简单应用理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义会运用函数图象理解和研究函数的性质第二单元 考纲要求(2)指数函数了解指数函数模型的实际背景理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算理解指数函数的概念，理解指数
2、函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点知道指数函数是一类重要的函数模型(3)对数函数理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点知道对数函数是一类重要的函数模型了解指数函数yax与对数函数ylog ax互为反函数(a0且a1)(4)幂函数了解幂函数的概念结合函数yx，yx2，yx3，,的图象，了解它们的变化情况(5)函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解
3、第二单元 考纲要求 1yx(6)函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用第二单元 考纲要求 考纲要求 第二单元 考纲要求 2导数及其应用(1)导数概念及其几何意义 了解导数概念的实际背景 理解导数的几何意义(2)导数的运算 能根据导数定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 常见基本初等函数的导数公式：C0(C 为常
4、数)；(xn)nxn1，nN；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ex)ex；(ax)axln a(a0，且 a1)；(ln x)1x；(logax)1xlogae(a0，且 a1)常用的导数运算法则：法则 1：u(x)v(x)u(x)v(x)法则 2：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)法则 3：uxvxu(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)(v(x)0)第二单元 考纲要求(3)导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的
5、极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(4)生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题(5)定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；了解微积分定理的含义命题趋势 纵观近几年辽宁等新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函数的综合应用、函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题也有挖掘本质，活用性质，出现了不少创新情境、新定
6、义的信息试题，以及与实际密切联系的应用题，和其他知识尤其是导数、数列、不等书、几何等知识交汇的热点试题。高考对导数的考察形式多样，难易均有，题型有选择题、填空题，也有解答题，分值516分。第二单元 命题趋势 命题趋势 另外还具有以下特点：1以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数2把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力3突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法4.在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几
7、何意义、导数的应用为主（要就函数的单调性、极值和最值等）；第二单元 命题趋势 命题趋势 5在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论，转化化归等思想预测2012年高考在选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、甚至解析几何等知识相整合设计试题，考查函数知识的综合应用。在选择题，填空题中主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题。第二单
8、元 命题趋势 使用建议 1编写意图“函数”是高中数学中起连接和支撑作用的主干知识，也是进一步学习高等数学的基础，其知识、观点、思想和方法贯穿于高中代数的全过程，同时也应用于几何问题的解决因此，在高考中函数是一个极其重要的部分，函数的复习也是高三数学第一轮复习的重头戏编写中注意到以下几个问题：(1)考虑到该部分内容是第一轮初始阶段复习的知识，因此在选题时注重基础题为主，尽量避免选用综合性强，思维难度大的题目；(2)函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化等数学思想与方法，在本单元中均有涉及，充分体现了数学思想是本书的精髓的理念；第二单元 使用建议 (3)从近几年高考看来，涉及该部分内容的新情景、
9、新定义的信息迁移题以及实际应用问题是高考的一个热点话题，因此适当加入了类似的题目；(4)突出了函数性质的综合应用，在第6讲复习完函数的性质后，专门设置了涉及函数性质综合应用的课时作业(5)为体现导数在研究函数中的作用，专门设置了以该内容为主的滚动基础训练；(6)有意识地将解析几何中切线、最值问题，函数的单调性、极值、最值问题，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题，切线问题的典型问题，充分体现导数的工具性第二单元 使用建议 2教学指导高三函数复习不是简单的知识重复，而是再认识，再提高的过程，复习中的最大矛盾是时间短，内容多，要求高，
10、而且高一学习函数时是走马观花，匆匆而过，这就要求在上复习课时既要做到突出重要点，抓住典型，又能在高度概括中深刻揭示知识的内在联系，使学生在掌握规律中理解、记忆、熟练、提高，因此教师在引导学生复习该部分时，对各层次知识点要把握准确，切忌追求难题、偏题和怪题教学时，注意到如下几个问题：(1)突出考纲的导向性作用：引导学生研读考纲，即不仅老师对考纲中对函数的考查要求要了如指掌，学生也必须十分明确，知道自己该在哪些方面下工夫，明确自己的任务和方向，以使自己的复习目标和复习行为与老师的要求合拍，减少师生之间的无谓的内耗，与高考先来次“零接触”第二单元 使用建议 (2)重视教材的基础作用和示范作用：函数客
11、观题一般直接来源于教材，往往就是课本的原题或变式题，主观题的生长点也是教材，在函数复习备考中重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例与习题，贯彻“源于课本，高于课本”的原则(3)阐明知识系统，掌握内在联系：知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志，函数概念、图象和性质是环环相扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的网络化的知识体系，这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有这样，学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是鲜明的、牢固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛的第二单元 使用建议 (4)重视渗透数学的思想方法：
12、数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，单纯的知识教学只能是学生知识的积累，而思想和方法的教学则潜移默化于能力的提高过程中，函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想、数形结合的思想，数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法、构造法等数学思想方法是以具体的知识为依托的，在复习教学中，要重视知识的形成过程，着重研究解题的思维过程，有意识的渗透思想方法，使学生从更高层次去领悟，去把握，去反思数学知识，增强数学意识，提高数学能力第二单元 使用建议 (5)重视几类特殊函数：抽象函数、分段函数理解研究起来比较困难，但是这类问题对培养学生观察能力，有十分重要的
13、作用，近几年来高考无论是客观题还是主观题中都有涉猎(6)引导学生按考试要求的三个层次进行导数的复习，不能停留在简单地复习导数的知识和应用上3课时安排本单元共12讲，其中第4讲，第6讲各2个课时，其余每讲建议1课时完成，两个滚动基本训练各1个课时，一个单元能力训练卷1课时完成，因此建议16课时完成复习任务第二单元 使用建议 第4讲 函数及其表示 第4讲 函数及其表示 知识梳理 1函数(1)设集合A是一个_的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有_的数y与它对应，则这种_叫做集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA，其中x叫自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的_，所有函数值构成
14、的集合叫做这个函数的_(2)确定一个函数只需两个要素：_和_ (3)函数的表示方法：_、_、_.第4讲 知识梳理 非空唯一确定对应关系定义域值域 解析法列表法图象法定义域对应法则第4讲 知识梳理 2映射映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照 的对应关系f，使对于集合A中的_元素x，在集合B中都有_元素y和它对应，那么就称对应f：AB叫做从集合A到集合B的一个映射映射与函数的关系：函数是_的映射3分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值，_可以不止一个，即对应法则“f”是分几段给出表达的，它是一个函数，不是几个函数某一种确定任意一个唯一的特殊表示的式子第4讲 知识
15、梳理 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_ 4函数解析式的求法求函数解析式的常用方法：_、_、_、赋值法和函数方程法并集并集待定系数法换元法配方法6常见函数定义域的求法(1)整式函数的定义域为_；(2)分式函数的分母不得为_；(3)开偶次方根的函数被开方数为_；(4)对数函数的真数必须_；(5)指数函数与对数函数的底数必须_；第4讲 知识梳理 全体实数零非负数大于零大于零且不等于1(6)三角函数中的正切函数ytanx，xR，且x_；(7)如果函数是_确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围；(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；(9)对
16、于复合函数yfg(x)，若已知f(x)的定义域为a，b，其复合函数fg(x)的定义域是不等式_的解集 第4讲 知识梳理 k2，kZ实际意义ag(x)b 要点探究 探究点1 函数与映射的概念例1 已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四种对应关系中，构成A到B的函数的是_第4讲 要点探究 第4讲 要点探究 思路利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数答案 (1)(3)解析 对于(1)，集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此(1)是函数；对于(2)，集合A中的元素4在B中没有元素与之对应，因此(2)不是函数；对于(3)，集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与
17、之对应，因此(3)是函数；对于(4)，集合A中的元素3在B中有两个元素与之对应，因此(4)不是函数第4讲 要点探究 点评 判断一个对应关系是否是映射或函数关系，关键抓住两个关键词“任意”、“唯一”，即x的任意性和y的唯一性，判断一个图象是否是函数关系也是如此，如：第4讲 要点探究 设Mx|0 x2，Ny|0y2，给出图42中四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()图42A0个B1个C2个D3个第4讲 要点探究 答案 B解析 根据函数的定义逐一判断对于图(a)，M中属于(1,2的元素，在N中没有元素有它对应，不符合定义；对于图(b)，M中任何元素，在N中都有元素有它对应，符合定义；
18、对于图(c)，与M对应的一部分元素不属于N，不符合定义；对于图(d)，M中的在0,2)中的元素，在N中有两个元素与之对应，不符合定义，由上分析可知，应选B 探究点2 函数的定义域的求法第4讲 要点探究 例 2 (1)2010河西模拟 函数 f(x)3x21xlg(25x3x2)的定义域是()A.13，2 B.13，1 C.2，13 D.，13 第4讲 要点探究 思路根据函数表达式求其定义域，只要根据使函数表达式有意义的条件，列出不等式(组)，再求解得到自变量的取值范围答案 B解析 要使函数解析式有意义，则1x0，25x3x20，解得13x0，364kk80，解得k1第4讲 要点探究(2)若函数
19、f(x)x4mx24mx3 的定义域为R，则实数m的取值范围是_答案解析 若m0，f(x)x43的定义域为R；若m0，则方程mx24mx30无解，16m212m0，得0m1时，函数的值域为(0,1)(2)函数y4的值域是_第4讲 要点探究 思路 利用配方法求值域答案 2,4解析y432xx24x124，0(x1)244，0 x1242，原函数的值域为2,4 第4讲 要点探究 思路 利用换元法法求值域答案 (，1 解析 设t12x，t0，则x1t22，y1t22t12(t1)21，当t1时，ymax1,原函数的值域为(，1(3)函数yx 12x的值域是_ 第4讲 要点探究 (1)已知a是实数，则
20、下列函数中，定义域和值域都可能是R的是()Ayx2aByax21Cyax2x1 Dyx2ax1解析对任意实数a，选项A、D对应的函数都为二次函数，其值域不可能为R；对于B，当a0时，函数为常函数，当a0时，函数为二次函数，值域都不可能是R，故选C.答案 C 第4讲 要点探究 (2)函数f(x)x|x2|的值域是_答案 2，)解析当x(，2时，f(x)2；当x(2，)时，f(x)2x22，故f(x)的值域是2，)探究点4 函数的解析式的求法例4(1)已知f(x)是一次函数，并且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求函数f(x)的解析式第4讲 要点探究 思路 已知函数的类型，利用待定系数法求解解
21、答(1)设 f(x)axb(a0)，则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，又 3f(x1)2f(x1)2x17，比较系数得a2，5ab17，解得 a2，b7，所以所求函数的解析式为 f(x)2x7.第4讲 要点探究 思路 利用配凑法求解解答 fx1x x2 1x2x1x22，用 x 代换 x1x得 f(x)x22，即为所求的函数 f(x)的解析式(2)若fx1x x21x2，求函数f(x)的解析式第4讲 要点探究 思路 利用解方程组法求解解答以x 代 x 后所得等式与原等式组成方程组fx2fx3x2，fx2fx3x2，解得 f(x)3x23.(3)已知f(x)2f
22、(x)3x2，求f(x)的解析式第4讲 要点探究 思路 利用换元法求解(4)已知f(sinx)cos2x，求f(x)的解析式解答令tsinx，t1,1，则cos2x1sin2x1t2，f(t)1t2，t1,1，故f(x)1x2，x1,1第4讲 要点探究 思路 利用自变量的取值范围，分段代入解析式求解例 5 已知 f(x)x21，g(x)x1，x0，2x，x0.(1)求 fg(2)和 gf(2)的值；(2)当 x0 时，求 fg(x)；(3)求 gf(x)的表达式 探究点5 分段函数第4讲 要点探究 解答(1)g(2)211，fg(2)f(1)1210，f(2)2213，gf(2)g(3)312
23、.(2)当 x0 时，g(x)x1，fg(x)f(x1)(x1)21x22x.(3)当 x1 或 x0，gf(x)g(x21)(x21)1x22.当1x1 时，x210，gf(x)g(x21)2(x21)x23，故 gf(x)x22，x1或x1，x23，1x1.第4讲 要点探究 点评 分段函数的特点是：在定义域的不同范围内函数的解析式是不相同的，即函数值的变化规律是不相同的因此在解决分段函数问题时，要利用分类讨论思想解决规律总结 第4讲 规律总结 1判断一个对应是否为映射关键看是否满足“取值任意性，成象唯一性”；判断是否为函数，一看是否为映射；二看A、B是否为非空数集2求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消参法3求函数定义域一般有三类问题：第4讲 规律总结(1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；(2)实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；(3)复合函数：已知f(x)定义域求f(g(x)定义域或已知f(g(x)定义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里面式子范围相同，即f(g(x)中g(x)相当于f(x)中的x.第4讲 规律总结 5解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值情况