1、2020新亮剑高考总复习 第十四单元 选修3-4 课时1 机械振动 磨剑：课前自学 真题体验 知识清单 考点巧讲悟剑：课堂精讲 知识清单 必备知识 1.简谐运动及表达式 (1)简谐运动:质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置。平衡位置:物体在振动过程中回复力为零的位置。回复力:定义,使物体返回到平衡位置的力。方向,总是指向平衡位置。来源,属于效果力,可以是某一个力,也可以是几个力的合力或某个力的分力。(2)简谐运动的表达式:动力学表达式为F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反。运动学表达式为x=Asin(t+),其中A代表振幅,=2f表示简谐运动的快慢,t
2、+代表简谐运动的相位,叫作初相。【温馨提示】简谐运动的平衡位置不是质点所受合力为零的位置,是回复力为零的位置。知识清单 2.简谐运动图象 (1)简谐运动的图象:从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asin t,图象如图甲所示。从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acos t,图象如图乙所示。(2)简谐运动的振动图象:物理意义,表示振动物体的位移随时间变化的规律。横轴表示时间,纵轴表示质点在不同时刻偏离平衡位置的位移。需要注意的是振动图象不是质点的运动轨迹。简谐运动的振动图象为正(余)弦函数曲线。知识清单(3)振动图象的应用:可读取A、T及各时刻的位移;判断v、x、f、a的方向及变化情况和Ek
3、、Ep的变化情况。【温馨提示】(1)简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹。(2)做简谐运动的质点经过平衡位置时,回复力一定为零,但所受合力不一定为零。(3)由于简谐运动具有周期性和对称性,因此涉及简谐运动时往往出现多解,分析时应特别注意。位移相同时回复力、加速度、动能和势能等可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性运动时间也不能确定。知识清单 3.受迫振动和共振 受迫振动的振动频率:当物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟物体的固有频率无关。【温馨提示】(1)无论发生共振与否,受迫振动的频率都等于驱动力的频率,但只有发生共振现象时振幅才能达到最大。(2)受迫振动系统中的能量转
4、化不再只有系统内部动能和势能的转化,还有驱动力对系统做正功,补偿系统因克服阻力而损失的机械能。知识清单 4.探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度 (1)单摆在摆角小于 5时,振动周期跟偏角的大小和摆球的质量无关,单摆的周期公式是 T=2,由此得 g=42l2,因此测出单摆的摆长 l 和振动周期 T,就可以求出当地的重力加速度。(2)测摆长:用米尺量出摆线长 l(精确到毫米),用游标卡尺测出小球直径 D,则单摆的摆长 l=l+2。(3)测周期:将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于 5),然后释放小球,记下单摆摆动 30 次50 次的总时间,算出平均每摆动一次的时间,即单摆的振动周期。反复测量三次,
5、再算出测得周期数值的平均值。【温馨提示】单摆的回复力是重力沿圆弧切线的分力,注意不是重力和拉力的合力。处理单摆问题时常用一种小角度近似处理 sin 。B 答案 基础过关 知识清单 1.(2018湖北宜昌单元检测)做简谐运动的物体,当它每次经过同一位置时,可能不同的物理量是()。A.位移 B.速度 C.加速度 D.回复力 A 答案 知识清单 2.(2018福建龙岩质检)有一弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是()。A.x=810-3sin 4+2 m B.x=810-3sin 4-2 m C.x=810-1sin +32 m D.x=81
6、0-1sin 4 t+2 m C 答案 知识清单 3.(2018陕西铜川摸底考试)甲、乙两弹簧振子的振动图象如图所示,则可知()。A.两弹簧振子完全相同 B.两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲F乙=21 C.当振子甲的速度为零时,振子乙的速度最大 D.两振子的振动频率之比f甲f乙=21 BC 答案 知识清单 4.(2019安徽淮北阶段考试)(多选)某单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示,则下列说法正确的是()。A.t1时刻摆球速度最大,摆球向心加速度最大 B.t2时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大 C.t3时刻摆球速度为零,摆球所受回复力最大 D.t4时刻摆球速度为零,摆球处于平衡状态 20
7、0 答案 知识清单 5.(2018山西太原质量调研)蜘蛛虽有8只眼睛,但视力很差,完全靠感觉来捕食和生活,它的腿能敏锐地感觉到丝网的振动,当丝网的振动频率f=200 Hz左右时,网的振幅最大,那么当落在网上的昆虫翅膀振动的频率为 Hz左右时,蜘蛛感到丝网振动最为强烈。CDE 答案 知识清单 6.(2018江西南昌阶段考试)(多选)某同学利用单摆测得g值比当地标准值偏大,其原因可能是()。A.测量摆长时忘记加上小球半径 B.振幅过小 C.将摆长当成了摆线长和球直径之和 D.摆动次数多记了一次 E.小球不是在竖直平面内摆动 F.摆球质量过大,空气阻力影响 BC 答案 知识清单 7.(2018河北保
8、定单元检测)(多选)某同学利用单摆测量重力加速度。为了使测量误差尽量小,下列说法正确的是()。A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球 B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线 C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动 D.在摆长一定的情况下,摆的振幅尽量大 AD 真题体验 答案 1.(2018 天津卷,8)(多选)一振子沿 x 轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0 时振子的位移为-0.1 m,t=1 s 时位移为 0.1 m,则()。A.若振幅为 0.1 m,振子的周期可能为23 s B.若振幅为 0.1 m,振子的周期可能为45 s C.若振幅为 0.2 m,振子的周期可能为 4 s D.若振
9、幅为 0.2 m,振子的周期可能为 6 s 解 析 真题体验 若振幅为 0.1 m,则 t=2+nT(n=0,1,2,)。当 n=0 时,T=2 s;当 n=1 时,T=23 s;当 n=2 时,T=25 s。故 A 项正确,B 项错误。若振幅为 0.2 m,振动分两种情况讨论:振子振动如图甲所示,则振子由 C 点振动到 D 点用时至少为2,周期最大为 2 s。甲振子振动如图乙中实线所示。由 x=Asin(t+)知 t=0 时,-2=Asin,=-6,乙真题体验 即振子由 C 点振动到 O 点用时至少为12,由简谐运动的对称性可知,振子由 C 点振动到 D 点用时至少为6,则 T 最大为 6
10、s。若振子振动如图乙中虚线所示,振子由 C 点振动到 D 点,则 T=2 s。综上所述 C 项错误,D 项正确。B 答案 真题体验 2.(2017 上海学业水平测试,10)做简谐运动的单摆,其摆长不变,若摆球的质量增加为原来的94倍,摆球经过平衡位置的速度减为原来的23,则单摆振动的()。A.周期不变,振幅不变 B.周期不变,振幅变小 C.周期改变,振幅不变 D.周期改变,振幅变大 解 析 真题体验 由单摆周期公式 T=2 可知,当摆长 l 不变时,周期不变;由机械能守恒定律可知12mv2=mgh,由12m 23 v 2=mgh1 知,摆球上升高度 h1=49h,即最大高度减小,故振幅A=2-
11、(l-1)2减小,B 项正确。考点巧讲 一 简谐运动的规律 1.简谐运动的五大特征:(1)受力特征,回复力 F=-kx,F(或 a)的大小与 x 的大小成正比,方向相反。(2)运动特征,靠近平衡位置时,a、F、x 都减小,v 增大;远离平衡位置时,a、F、x 都增大,v 减小。(3)能量特征,振幅越大,能量越大。在运动过程中,系统的动能和势能相互转化,机械能守恒。(4)周期性特征,质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期 T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为2。(5)对称性特征,关于平衡位置 O 对称的两点,速度的大小、动能、势能相等,相对平衡
12、位置的位移大小相等;由对称点到平衡位置 O 用时相等。考点巧讲 2.两种振动模型的分析与对比 模型 弹簧振子 单摆 振动示 意图 特点 忽略阻力,弹簧的弹力提供回复力;弹簧的质量可忽略 摆线轻质无弹性,摆角很小;重力切向分力提供回复力 回复力 F=-kx F=-x;T=2 运动 特点 振子在振动过程中,机械能守恒,振子经过平衡位置时,势能为零,动能最大,从平衡位置运动到最大位移处时,动能转化为势能,振动的位移、速度、回复力、动能和势能都做周期性变化 考点巧讲【温馨提示】类单摆问题的解题方法:确认符合单摆模型的条件,即小球沿光滑圆弧运动,小球受重力、轨道支持力,此支持力类似单摆中的摆线拉力,故此
13、装置可称为“类单摆”。寻找等效摆长 l 及等效加速度 g,最后利用公式 T=2 或简谐运动规律分析求解问题。例1 答案 AB 考点巧讲(多选)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5t)m。t=0 时,一 小 球 从 距 物 块 h 高 处 自 由 落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10 m/s2。以下判断正确的是()。A.h=1.7 m B.简谐运动的周期是0.8 s C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m D.t=0.4 s时,物块与小球的运动方向相反 解
14、析 考点巧讲 t=0.6 s 时,物块的位移 y=0.1sin(2.50.6)m=-0.1 m,则对小球有 h+|y|=12gt2,解得h=1.7 m,A 项正确;简谐运动的周期 T=2=0.8 s,B 项正确;0.6 s 内物块运动的路程s=3A=0.3 m,C 项错误;t=0.4 s=2,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,D 项错误。规律小结 首先要搞清简谐振动的特点及自由落体运动的规律;然后通过物块及小球的位置关系进行讨论。变式1 答案 BD 考点巧讲(多选)一列简谐横波在t0时刻的波形图如图甲所示,a、b、c、d 分别为介质中的4个质点。该波的周期为T,则下列判
15、断中正确的是()。A.若波沿 x 轴正向传播,则图乙可表示 c 质点从 t0 时刻开始的振动图象 B.若波沿 x 轴正向传播,则图乙可表示 b 质点从 0+4 时刻开始的振动图象 C.若波沿 x 轴负向传播,则图乙可表示 a 质点从 0+34 时刻开始的振动图象 D.若波沿 x 轴负向传播,则图乙可表示 d 质点从 0+34 时刻开始的振动图象 解析 考点巧讲 若波沿 x 轴正向传播,根据同侧法可知处于平衡位置的 a 向上振动,c 向下振动;而图乙的振动图象反映的是从平衡位置开始向上振动的图象,则满足 b 质点在 0+4 时刻的振动规律,故 A 项错误,B 项正确。若波沿 x 轴负向传播,则此
16、时刻开始 a 向下振动,c向上振动,b 经过4回到平衡位置向上振动,d 经过34 回到平衡位置向上振动,故 C 项错误,D 项正确。考点巧讲 二 简谐运动图象的理解和应用 1.根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位(如图甲所示)。(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。(3)某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向,速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定。(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向:回复力总是指向平衡位置,回复力和加速度的方向相同,在图象上总是指向t轴。(5)某段时间内质点的位移、回复力
17、、加速度、速度、动能和势能的变化情况。考点巧讲 2.利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性(如图乙所示)(1)相隔 t=+12 T(n=0,1,2,)的两个时刻,弹簧振子的位置关于平衡位置对称,位移大小相等,方向相反,速度也大小相等,方向相反。(2)相隔 t=nT(n=0,1,2,)的两个时刻,弹簧振子在同一位置,位移和速度都相同。【温馨提示】运动的对称性是振动问题考查的一个难点,运动的对称性把握三处位置,即关于平衡位置对称的位置、运动时间相差半周期的奇数倍的位置、运动时间相差周期的整数倍的位置。例2 答案 ABD 考点巧讲(多选)一水平弹簧振子沿x轴方向做简谐运动,平衡位置在坐标原点,向x轴正
18、方向运动时弹簧被拉伸,振子的振动图象如图所示,已知弹簧的劲度系数为20 N/cm,振子质量m=0.1 kg,则()。A.图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N,方向指向x轴的负方向 B.图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向 C.图中A点对应的时刻振子的加速度大小为5 m/s2 D.在04 s内振子通过的路程为4 cm E.在04 s内振子做了1.75次全振动 解析 考点巧讲 由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知,题图中 A 点对应的时刻振子所受的回复力大小 F=kx=200.25 N=5 N,方向指向 x 轴的负方向,并且振子正在远离 O 点向 x 轴的正方向运动,
19、A、B 两项正确;由牛顿第二定律知,题图中 A 点对应的时刻振子的加速度大小 a=50 m/s2,C 项错误;由题图可读出周期为 2 s,4 s 内振子完成两次全振动,通过的路程 s=24A=240.5 cm=4 cm,D 项正确,E 项错误。规律小结 求解简谐运动问题时,要紧紧抓住一个模型水平方向振动的弹簧振子,熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各物理量的变化规律,看到振动图象,头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景,再把问题一一对应、分析求解。三 单摆及其周期问题 考点巧讲(1)对单摆的理解 回复力:摆球重力沿切线方向的分力 F 回=-mgsin=-x=-kx,负号表示回复力 F 回
20、与位移 x 的方向相反。向心力:细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力,F 向=FT-mgcos。考点巧讲(2)两点说明:当摆球在最高点时,F 向=2=0,FT=mgcos。当摆球在最低点时,F 向=max 2,F 向最大,FT=mg+mmax 2。(3)周期公式 T=2 的两点说明 l 为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。g 为当地重力加速度。例3 答案 考点巧讲 如图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。设向右为正方向。图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答:(1)单摆振动的频率是多大?(2)开始时摆球在何位置?(3)若当地的重力加速度为1
21、0 m/s2,求这个单摆的摆长是多少?(计算结果保留2位有效数字)(1)1.25 Hz(2)B点(3)0.16 m解析 考点巧讲(1)由题图乙知周期 T=0.8 s,则频率 f=1=1.25 Hz。(2)由题图乙知,t=0 时摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以开始时摆球在 B 点。(3)由 T=2,得 l=2420.16 m。变式2 答案 考点巧讲(1)9.78 m/s2(2)7.02 s 一根摆长为2 m的单摆,在地球上某地振动时,测得完成100次全振动所用的时间为284 s。(计算结果保留3位有效数字)(1)求当地的重力加速度g。(2)该单摆拿到月球上去,已知月球的重力加速度是1.
22、60 m/s2,单摆振动周期是多少?解析 考点巧讲(1)周期 T=284100 s=2.84 s 由周期公式 T=2 得 g=42l2 9.78 m/s2。(2)T=2 7.02 s。四 用单摆测定加速度 考点巧讲 1.实验原理与操作 考点巧讲 2.数据处理 a.公式法:g=42l2,算出重力加速度 g 的值,再算出 g 的平均值。b.图象法:作出 l-T2 图象求 g 值。3.误差分析 产生原因 减小方法 偶然误差 测量单摆周期及摆长时产生误差 多次测量再求平均值 计时从单摆经过平衡位置时开始 系统误差 主要来源于单摆模型本身 摆球要选体积小、密度大的 最大摆角要小于 5 例4 答案 低 2
23、.05 s 考点巧讲 在“用单摆测定重力加速度”的实验中:(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5,为了减小测量周期的误差,计时开始时,摆球应经过最 (选填“高”或“低”)点,且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间,求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间,则单摆振动周期为 。(2)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示。O为悬挂点,从图乙中可知单摆的摆长为 m。(3)若用L表示摆长,T表示周期,那么重力加速度的表达式为g=。42L2 0.9980答案 考点巧讲(4)考虑单摆振动时空气浮力的影响,学生甲说:“因为空气浮力与摆球重力方向相反,它对球的作用相当于重力加
24、速度变小,因此振动周期变大。”学生乙说:“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验,因此振动周期不变。”则 。A.甲的说法正确B.乙的说法正确C.甲、乙的说法都是错误的A 解析 考点巧讲(1)摆球经过最低点时小球速度最大,容易观察和计时;图甲中停表的示数为 1.5 min+12.5 s=102.5 s,则周期 T=102.550 s=2.05 s。(2)从悬点到球心的距离为摆长,可得 L=0.9980 m。(3)由单摆周期公式 T=2 可得 g=42L2。(4)由于受到空气浮力的影响,小球的质量没变,可相当于小球所受重力减小,即等效重力加速度减小,因而振动周期变大,A 项正确。五 受迫振动
25、和共振 考点巧讲 1.自由振动、受迫振动和共振的关系比较 振动 项目 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期 T0 或固有频率 f0 由驱动力的周期或频率决定,即 T=T 驱或 f=f 驱 T 驱=T0 或 f 驱=f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(偏角 5)机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣 考点巧讲 2.对共振的理解(1)共振曲线:如图所示,横坐标为驱动力频率f,纵坐标为振幅A,它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f
26、0的振动系统受迫振动振幅的影响,由图可知,f与f0越接近,振幅A越大。当f=f0时,振幅A最大。(2)受迫振动中系统能量的转化:做受迫振动的系统的机械能不守恒,系统与外界时刻进行能量交换。例5 答案 考点巧讲 下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系,若该振动系统的固有频率为f固,则()。驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80 受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 A.f固=60 Hz B.60 Hzf固70 Hz C.50 Hzf固60 Hz D.以上三个都不对 C解析 考点巧讲 如图所示,f驱与f固越接近,受迫振动的振幅越大。比较各组数据知f驱在50 Hz60 Hz范围内,即50 Hzf固60 Hz,C项正确。