1、课时提升作业(二十五)平面向量的数量积一、选择题(每小题5分,共25分)1.ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则=()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-23+35=9.2.(2022厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3),设2a+b与a-b的夹角为,所以cos=.又0,故=.3.(2022滨州模拟)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=()A.-3B.-2C.-1D.1
2、【解题提示】利用坐标表示a+2b,再利用垂直条件得方程求解.【解析】选A.由已知得a+2b=(,3),故(a+2b)c=(,3)(k,)=k+3=0.解得k=-3.【加固训练】已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos 60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos 60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4
3、.(2022绵阳模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|=ab,则y=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y),所以a+b=(3,y+1),ab=2+y,因为|a+b|=ab.所以=2+y,所以y=3.5.(2022厦门模拟)在ABC中,A=120,=-1,则|的最小值是()A.B.2C. D.6【解析】选C.由当且仅当时等号成立.所以|,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=(cos,sin),b=(2,2),则|2a-b|的最大值为.【解析】由已知得|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+16-4(2cos+2
4、sin)=20-16 =20-16sin所以当+=2k-(kZ),即=2k-(kZ)时,|2a-b|=36.所以|2a-b|的最大值为6.答案:67.在平面直角坐标系xOy中,已知则实数的值为.【解析】由已知得=(-3,3),设C(x,y),则=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又,即(x-3,y+1)=(0,2),所以由x=y得,y=3,所以=2.答案:28.(2022东营模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为.【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以(a+b)a=a2+a
5、b=|a|2.故向量a+b与a的夹角的余弦值为cos=.又0,所以=.答案: 三、解答题(每小题10分,共20分)9.(10分)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值.(2)若ab,求|a-b|.【解析】(1)由ab得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1.(2)由ab,则2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0).此时|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),则a-b=(2,-4).故|a-b|=10.已知
6、|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|.(3)若=a,=b,求ABC的面积.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6,所以cos= 又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为的夹角=,所以ABC=又|=|a|=4,|=|b|=3,所以(20分钟40分)1.(5分)(2022石家庄模拟)在ABC中,AB=4,AC=3,=1,
7、则BC=()【解题提示】利用已知条件,求得夹角的余弦,再用余弦定理求BC.【解析】选D.设A=,因为,AB=4,AC=3,所以2.(5分)(2022太原模拟)在ABC中,设那么动点M的轨迹必通过ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心【解析】选C.假设BC的中点是O,则 即所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过ABC的外心.【加固训练】(2022兰州模拟)若ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且=0,则ABC一定是()A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.因为所以=0,即,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+
8、C=,所以2B=-B,所以3B=,B=,故ABC是等边三角形.3.(5分)设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,若向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,则实数t的范围为.【解析】由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,得0,即(2ta+7b)(a+tb)0,化简即得2t2+15t+70,解得-7t-,当夹角为时,也有(2ta+7b)(a+tb)0,但此时夹角不是钝角,设2ta+7b=(a+tb),0,答案: 【误区警示】解答本题易忽视向量2ta+7b与a+tb共线反向的情况,而得错误答案.4.(12分)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos).(1)
9、若的值.(2)若=1,其中O为坐标原点,求sincos的值.【解析】因为A(1,0),B(0,1),C(2sin,cos),所以=(2sin-1,cos),=(2sin,cos-1).(1)所以化简得2sin=cos,所以tan=,所以(2)=(2sin,cos),所以=(1,2),因为=1,所以2sin+2cos=1.所以(sin+cos)2=,所以sincos=-.5.(13分)(能力挑战题)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.(2)若对一切实数x,|a+xb|a+b|恒成立,求a与b的夹角.【解析】(1)因为|a|=,|b|=1,
10、|a-b|=2.所以|a-b|2=4,即a2-2ab+b2=4,2-2ab+1=4,所以ab=-.设a与b的夹角为,(2)令a与b的夹角为.由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|b|cos0,因为|a|=,|b|=1,所以(x2-1)+(2x-2)cos0,当x=1时,式子显然成立;【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令a与b的夹角为,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,因为|a|=,|b|=1,所以x2+2xcos-2cos-10,对一切实数x恒成立,所以=8cos2+8cos+40,即(cos+1)20,故cos=-,因为0,所以=.
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