1、2022年小学六年级小升初数学专题复习（22）排列与组合 知识归纳总结一、简单的排列、组合知识归纳1排列组合的概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数2解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理与分步计数原理（1）分类计数原理（也称加法原理）：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从
2、甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法（2）分步计数原理（也称乘法原理）：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有32=6种不同的走法常考题型例1：有4支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（）A、4场 B、6场 C、8场分析：两两之间比赛，每只球队就要打3场比赛，一共要打43场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次解：432，=122，=6（场）；故选：B点评：
3、甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以2例2：小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走A、3 B、4 C、5 D、6分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解解：23=6，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理 拔高训练备考一选择题（共6小题）1用3、5、0三个数字组成的两位数有（）个。A2B4C
4、62今年“国庆七日长假”，陆老师想参加“千岛湖双日游”，哪两天去呢，陆老师共有多少种不同的选择？（）A5种B6种C4种3一个兴趣小组共有8人，我们要从这些人中选出7人参加比赛，则一共有多少种选法？（）A6B7C8D94把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，使每个小朋友都分到礼物，分礼物的不同方法一共有（）种A3B4C5D65小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走A3B4C5D66小东、小华、小平，3个人排成一行照相，有（）种不同的排法A8B6C12二填空题（共6小题）7茂名到广州的D7454高铁，途经站点依次分别为茂名、阳江，新会、广州
5、南，单程需要准备 种不同的车票。8佳佳有两件不同的上衣和三条不同的裤子，她一共有 种穿法。9用6，5，2，1四张卡片能组成的最大三位数是 ，能组成的最小三位数是 ，它们相差 。10有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试 次11在一块并排10垄的田地中，选择2垄种植A、B两种作物，每种作物种植一垄为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄种植方法有 种12六年级4个班之间将举行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要进行 场比赛三判断题（共5小题）13有3个数4、6、8，任意选取其中2个求和，得数有3种可能。 14用2件上衣和3件裤子搭配穿，一共有6
6、种穿法 155个身高各不相同的同学按从高到矮的顺序排列，只能有1种排法 16妈妈向贝贝推荐了少年智力开发报、中国少年报、小学生数学报三种报纸如果贝贝至少订阅一种，最多订阅三种，贝贝一共有7种不同的订阅方法 17李阿姨从A地到B地，途中在C地停留从A地到C地有3条路可以到达，从C地到B地有2条路可以到达李阿姨从A地到B地一共有5条路可以到达 四应用题（共8小题）18有8枝花，分别插在两个花瓶中，在花瓶下写一写，一共有多少种不同的插花方法？19爸爸带小明去快餐店。20利用火警电话、报警电话、急救电话，组成的最大的数是多少？最小的数是多少？21下棋比赛。甲、乙、丙、丁四个选手比赛下棋，每两个对手都要
7、交手比赛一次，至少要进行几局比赛？22如果北京到广州的高铁中途要停靠郑州，武汉两个火车站，那这些车站间的往返火车票共需多少种？23有3名小朋友，每2名小朋友进行一场比赛，一共要比几场？24明明有3、5、8三张数字卡片和一张小数点的卡片，他可以摆出哪些一位小数？25用0、1、5、8这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1850是第几个？参考答案与试题解析一选择题（共6小题）1【分析】认真审题，仔细观察和分析题干中的已知条件，根据简单的排列组合的解题方法，利用枚举法，一一列举所有可能。用3、5、0三个数字组成的两位数有：35，30，50，53，共4个。【解答】解：用3、5、0三个数
8、字组成的两位数有：35，30，50，53，共4个。故选：B。【点评】此题考查了简单的排列组合，分步完成用枚举法。2【分析】度假的这两天是相邻的两天，只要不把第一天放在10月7日（最后一天）即可【解答】解：陆老师可以选择以下的两天去旅游：10月1日和10月2日；10月2日和10月3日；10月3日和0月4日；10月4日和10月5日；10月5日和10月6日；10月6日和10月7日共6种选择故选：B【点评】本题只要理解这两天是相邻的两天，问题不难解决3【分析】把8个人进行编号，分别为，如果选7人进行比赛，先让前7号去比赛；然后再排除，再排除，就这样一个一个排除，就这样以此类推最后排除完号，所有排列完成
9、。【解答】解：先给8人编号，一个一个排除，这样的排列总共有8种。故选：C。【点评】所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。4【分析】每个小朋友都分到礼物，至少有一件礼物，最多3件礼物，这样，分法有：（1，2，2）、（2、2、1）、（2，1，2）、（3，1，1）、（1，3，1）、（1，1，3），共6种【解答】解：每个小朋友都分到礼物，至少有一件礼物，最多3件礼物，这样，分法有：（1，2，2）、（2、2、1）、（2，1，2）、（3，1，1）、（1，3，1）、（1，1，3），共6种答：分礼物的不同方法一共有6种；故选：D。【点评】此题考查了简单的排列、组合5【分析】小华从学校到
10、公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解【解答】解：236，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D【点评】此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理6【分析】先确定第一位有三种排法，再看剩下的两人有2种排法，一共有326（种）【解答】解：三人可以有以下几种排列方法：小东、小华、小平；小东、小平、小华；小华、小东、小平；小华、小平、小东；小平、小东、小华；小平、小华、小东一共有6种排法故选：B【点评】解决本题关键是确定一位，排列其
11、他两人，每交换位置就多一种方法，要做到不重不漏二填空题（共6小题）7【分析】把4个高铁站看作握手问题解答，由于每个高铁站都要和另外的2个握一次手，一共要：3412（次）；又因为两个火车站只握一次，去掉重复计算的情况，单程实际只有：1226（次），据此解答。【解答】解：（41）421226（种）答：单程需要准备6种不同的车票。故答案为：6。【点评】本题是典型的握手问题，如果目数比较少，可以用枚举法解答；如果数目比较多，可以用公式：n（n1）2解答。8【分析】佳佳有两件不同的上衣和三条不同的裤子，上衣有2种不同的选择，裤子有3种不同的选择，根据乘法原理可得，共有236（种）不同的穿法，即可解答。【
12、解答】解：236（种）答：她一共有6种穿法。故答案为：6。【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题，需要明确2件上衣和3条裤子各有几种选择，然后相乘即可解答。9【分析】要使四个数字组成的三位数最大，6要放在百位上，5要放在十位上，2要放在个位上；要使四个数字组成的三位数最小，1要放在百位上，2要放在十位上，5要放在个位上；然后求差即可解答。【解答】解：652125527用6，5，2，1四张卡片能组成的最大三位数是652，能组成的最小三位数是125，它们相差527。故答案为：652；125；527。【点评】要使组成的数最大，从最高位开始把这些数字按从大到小的顺序排列；要使组成的数最小，最小的数字（0
13、除外）要放在最高位上，然后把剩下的数字按从小到大的顺序排列。10【分析】第一把钥匙最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出；剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了【解答】解：2+13（次）答：最多要试3次故答案为：3【点评】解决此题的关键在于要考虑最坏的结果，运用类推的方法解答问题11【分析】如下图所示，满足条件的情况有6种可能，当A或B种在第一垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有3种可能，即种在第八或第九或第十垄；当A或B种在第二垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有2种可能，即种在第九或第十垄；当A或
14、B种在第三垄，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则B或A有1种可能，即种在第十垄；因此得解【解答】解：（3+2+1）26212（种）；答：则不同的选垄种植方法有 12种故答案为：12【点评】此题考查了简单的排列、组合分类完成工作，每一类中的方法可以独立完成工作，用加法12【分析】由于采用单循环制进行比赛，所以每个班都要和其它三个班赛一场，即进行3场比赛；四个班一共要有3412场比赛，又因为每两个班重复计算了一次，所以实际全年级一共要进行了 1226场比赛【解答】解：342，122，6（场）；答：全年级一共要进行6场比赛故答案为：6【点评】本题考查了加法原理即完成一件事情有n类方法，第一类中又
15、有M1种方法，第二类中又有M2种方法，第n类中又有 Mn种方法，那么完成这件事情就有M1+M2+Mn种方法三判断题（共5小题）13【分析】4、6、8，任意选取其中2个求和，得数有4+610，6+814，4+812，一共有3种，分别是10，14，12。【解答】解：4+6104+8126+814所以原题说法正确。故答案为：【点评】排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。14【分析】从用2件上衣选一件有2种不同的选法；从3件裤子选一件有种不同的选法；根据乘法原理可列式为：236（种），据此解答【解答】解：根据分析可得，236（种），答：一共有6种穿法故答案为：【点评】本题考查
16、了乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1M2Mn种不同的方法15【分析】因为没有说是站成横队还是纵队，所以从前到后的顺序，从后到前；从左到右或从右到左排列方法都不同，据此解答即可【解答】解：由分析得出：5个身高各不相同的同学按从高到矮的顺序排列，只能有1种排法说法错误故答案为：【点评】解决本题的关键是明确方向的不同也会造成排列方法的不同16【分析】分订阅1种，订阅2种，订阅3种进行讨论，求出每种的各有几种订法，再相加【解答】解：（1）订阅1种时：是从3种报纸中任选1种，有3种选法
17、；（2）订阅2种时：是从3种报纸中选2种订阅，即选出1种不订阅的，也有3种选法；（3）订阅3种时：3本全选，有1种选法；3+3+17（种）故答案为：【点评】本题分情况讨论后，每一种情况都可以看成简单的组合问题17【分析】用图示比较直观，从A到C的每条路再到B都有2种走法，所以共有326（条）【解答】解：一共有：326（条）答：李阿姨从A地到B地一共有6条路可以到达所以李阿姨从A地到B地一共有5条路可以到达，说法错误故答案为：【点评】解决本题的关键是通过作图明确从A到C的每条路再到B都有2种走法，共有6种走法也可以用列举法四应用题（共8小题）18【分析】不重不漏地列举出所有的情况即可，此题实际上
18、就是8可以分成几和几的问题，由于是分别插在两个花瓶中，所以枝数不能是0。【解答】解：一共有4种不同的插花方法。【点评】此题主要使用了枚举法来解决简单的排列组合问题，要熟练掌握。19【分析】三种食品分别用A、B、C表示，选2种的选法：A、B；A、C；B、C。共三种不同的选法。据此解答即可。【解答】解：三种食品分别用A、B、C表示，选2种的选法：A、B；A、C；B、C。共三种不同的选法。答：有3种不同的选法。【点评】根据简单的组合的知识，解答此题即可。20【分析】火警电话119、报警电话110、急救电话120；利用火警电话、报警电话、急救电话，组成的最大的数是120119110，最小的数是1101
19、19120，据此解答即可。【解答】解：利用火警电话、报警电话、急救电话，组成的最大的数是120119110，最小的数是110119120。【点评】知道火警电话119、报警电话110、急救电话120，是解答此题的关键。21【分析】甲要与其他三位棋手下每人下一局，甲共下了3局完成自己所有的比赛，乙还要与剩下的两位棋手每人下1局才能完成比赛，乙还要下2局，丙还要与丁下一局才能完成比赛，丙还要下1局，此时丁已经完成比赛，整个比赛结束，一共下了（3+2+1）局。【解答】解：3+2+16（局）答：至少要进行6局比赛。【点评】按一定的顺序排列、计数，避免重复和遗漏情况发生。22【分析】北京到广州的高铁共有（
20、2+2）4（个）车站，每个车站都要和其它3个车站有往返的车票，所以根据乘法原理，北京到广州的高铁共有43（种）不同的往返火车票。【解答】解：4（41）4312（种）答：这些车站间的往返火车票共需12种。【点评】此题主要考查计数方法的应用，根据乘法原理进行解答，需要注意的是A到B和B到A是不同的两种车票。23【分析】如果每两名小朋友之间都进行一场比赛，每名小朋友都要和其他的2人进行一场比赛，每个同学赛2场，共有2323（场），据此解答即可。【解答】解：（31）32623（场）答：一共要比3场。【点评】在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数参赛人数（人数1）2。24【分析】写出可以排
21、列出的全部的一位小数，假设先不考虑小数点，先排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有6种；然后排十位，有3种排法，再排个位有2种排法，共有6种，一共有12个一位小数如果加上小数点，只能在个位和十位之间的位置，据此解答【解答】解：根据分析可得，35.8，38.5，53.8，58.3，83.5，85.3，3.5，3.8，5.3，5.8，8.3，8.5答：可以组成12个不同的一位小数【点评】本题考查了简单的排列知识，由于情况数较少可以用枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏25【分析】先排千位，因为0不能放在千位上，所以有3种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有332118种；先看比1850小的数有多少个，千位只能是1，百位为0时，有2个；百位为5时，有2个；百位为8时，有1个，共2+2+15个，所以1850是第6个【解答】解：根据分析可得，332118（种），可以组成18个不同的四位数由分析可得比1850小的数有2+2+15个，所以从小到大排列，1850是第6个【点评】本题考查了复杂的乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1M2Mn种不同的方法
